代数示例

$x^{\frac{4}{3}} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{\frac{4}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ 。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{2} - 10 x^{\frac{2}{3}} + 9 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{\frac{2}{3}}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$u^{2} - 10 u + 9 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 10 u + 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $9$ ，和为 $- 10$ 。

$- 9, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 9) (u - 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{\frac{2}{3}} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

解题步骤 5

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 9) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

解题步骤 6

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 3^{2}) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{\frac{1}{3}}$ 和 $b = 3$ 。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{2}{3}} - 1) = 0$

解题步骤 8

将 $x^{\frac{2}{3}}$ 重写为 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1) = 0$

解题步骤 9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ({(x^{\frac{1}{3}})}^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{\frac{1}{3}}$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1)) = 0$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(x^{\frac{1}{3}} + 3) (x^{\frac{1}{3}} - 3) (x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} - 1) = 0$

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