代数示例

${(x - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

解题步骤 1

由于 $x = r \cos (θ)$ ，替换 $x$ 为 $r \cos (θ)$ 。

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {(y + 4)}^{2} = 25$

解题步骤 2

由于 $y = r \sin (θ)$ ，替换 $y$ 为 $r \sin (θ)$ 。

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} = 25$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.1

从等式两边同时减去 $25$ 。

${((r \cos (θ)) - 3)}^{2} + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2

化简等式左边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.1

将 ${(r \cos (θ) - 3)}^{2}$ 重写为 $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ 。

$(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(r \cos (θ) - 3) (r \cos (θ) - 3)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - 3) - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ) - 3) + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.3.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.3.1.1

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.3.1.1.1

移动 $r$ 。

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.1.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

乘以 $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.3.1.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} (\cos (θ) \cos (θ)) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \cos (θ) \cdot - 3 - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.3

将 $- 3$ 移到 $r \cos (θ)$ 的左侧。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 \cdot (r \cos (θ)) - 3 (r \cos (θ)) - 3 \cdot - 3 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.1.4

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 3 r \cos (θ) - 3 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.3.2

从 $- 3 r \cos (θ)$ 中减去 $3 r \cos (θ)$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + {((r \sin (θ)) + 4)}^{2} - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.4

将 ${(r \sin (θ) + 4)}^{2}$ 重写为 $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + (r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.5

使用 FOIL 方法展开 $(r \sin (θ) + 4) (r \sin (θ) + 4)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.5.1

运用分配律。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ) + 4) + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.5.2

运用分配律。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ) + 4) - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.5.3

运用分配律。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \sin (θ) (r \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6

化简并合并同类项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.6.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.6.1.1

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.6.1.1.1

移动 $r$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r \cdot r \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.1.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.2

乘以 $r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.1.6.1.2.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.2.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} (\sin (θ) \sin (θ)) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + r \sin (θ) \cdot 4 + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.3

将 $4$ 移到 $r \sin (θ)$ 的左侧。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 \cdot (r \sin (θ)) + 4 (r \sin (θ)) + 4 \cdot 4 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.1.4

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 4 r \sin (θ) + 4 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.1.6.2

将 $4 r \sin (θ)$ 和 $4 r \sin (θ)$ 相加。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + r^{2} \sin^{2} (θ) + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.2

通过提取公因式进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.2.1

移动 $r^{2} \sin^{2} (θ)$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.2.2

从 $r^{2} \cos^{2} (θ)$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} \sin^{2} (θ) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.2.3

从 $r^{2} \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.2.4

从 $r^{2} (\cos^{2} (θ)) + r^{2} (\sin^{2} (θ))$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$r^{2} (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.3

重新整理项。

$r^{2} (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.4

使用勾股恒等式。

$r^{2} \cdot 1 - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.5

通过加上各项进行化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.1

将 $r^{2}$ 乘以 $1$ 。

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 9 + 8 r \sin (θ) + 16 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.5.2

将 $9$ 和 $16$ 相加。

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25 = 0$

解题步骤 3.2.5.3

合并 $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 25 - 25$ 中相反的项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.2.5.3.1

从 $25$ 中减去 $25$ 。

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) + 0 = 0$

解题步骤 3.2.5.3.2

将 $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ 和 $0$ 相加。

$r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.3

从 $r^{2} - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ)$ 中分解出因数 $r$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.3.1

从 $r^{2}$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r - 6 r \cos (θ) + 8 r \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $- 6 r \cos (θ)$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + 8 r \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.3.3

从 $8 r \sin (θ)$ 中分解出因数 $r$ 。

$r \cdot r + r (- 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

解题步骤 3.3.4

从 $r \cdot r + r (- 6 \cos (θ))$ 中分解出因数 $r$ 。

$r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ)) = 0$

解题步骤 3.3.5

从 $r (r - 6 \cos (θ)) + r (8 \sin (θ))$ 中分解出因数 $r$ 。

$r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$

解题步骤 3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$r = 0$

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.5

将 $r$ 设为等于 $0$ 。

$r = 0$

解题步骤 3.6

将 $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $r$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.1

将 $r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ) = 0$

解题步骤 3.6.2

将所有不包含 $r$ 的项移到等式右边。

点击获取更多步骤...

解题步骤 3.6.2.1

在等式两边都加上 $6 \cos (θ)$ 。

$r + 8 \sin (θ) = 6 \cos (θ)$

解题步骤 3.6.2.2

从等式两边同时减去 $8 \sin (θ)$ 。

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

解题步骤 3.7

最终解为使 $r (r - 6 \cos (θ) + 8 \sin (θ)) = 0$ 成立的所有值。

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

$r = 0$

$r = 6 \cos (θ) - 8 \sin (θ)$

代数 示例

代数示例