代数示例

$x^{2} - y^{2} = 1$

解题步骤 1

由于 $x = r \cos (θ)$ ，替换 $x$ 为 $r \cos (θ)$ 。

${(r \cos (θ))}^{2} - y^{2} = 1$

解题步骤 2

由于 $y = r \sin (θ)$ ，替换 $y$ 为 $r \sin (θ)$ 。

${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2} = 1$

解题步骤 3

求解 $r$ 。

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解题步骤 3.1

化简左边。

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解题步骤 3.1.1

化简 ${(r \cos (θ))}^{2} - {(r \sin (θ))}^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = r \cos (θ)$ 和 $b = r \sin (θ)$ 。

$(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - (r \sin (θ))) = 1$

解题步骤 3.1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(r \cos (θ) + r \sin (θ)) (r \cos (θ) - r \sin (θ))$ 。

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解题步骤 3.1.1.2.1

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.2

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ) - r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.2.3

运用分配律。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3

化简项。

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解题步骤 3.1.1.3.1

合并 $r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \cos (θ) (- r \sin (θ)) + r \sin (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ))$ 中相反的项。

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解题步骤 3.1.1.3.1.1

按照 $r \cos (θ) (- r \sin (θ))$ 和 $r \sin (θ) (r \cos (θ))$ 重新排列因数。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) - r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \cdot r \cos (θ) \sin (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.1.2

将 $- r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ 和 $r \cdot r \cos (θ) \sin (θ)$ 相加。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + 0 + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.1.3

将 $r \cos (θ) (r \cos (θ))$ 和 $0$ 相加。

$r \cos (θ) (r \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.2.1.1

移动 $r$ 。

$r \cdot r \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.1.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$r^{2} \cos (θ) \cos (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.2

乘以 $r^{2} \cos (θ) \cos (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.2.2.1

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.2.2

对 $\cos (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} (\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.2.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r^{2} {\cos (θ)}^{1 + 1} + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.2.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r \sin (θ) (- r \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.3

使用乘法的交换性质重写。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r \sin (θ) r \sin (θ) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.4

通过指数相加将 $r$ 乘以 $r$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.2.4.1

移动 $r$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - (r \cdot r) \sin (θ) \sin (θ) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.4.2

将 $r$ 乘以 $r$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin (θ) \sin (θ) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.5

乘以 $- r^{2} \sin (θ) \sin (θ)$ 。

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解题步骤 3.1.1.3.2.5.1

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.5.2

对 $\sin (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} (\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)) = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.5.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} {\sin (θ)}^{1 + 1} = 1$

解题步骤 3.1.1.3.2.5.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ) = 1$

解题步骤 3.2

从 $r^{2} \cos^{2} (θ) - r^{2} \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $- r^{2} \sin^{2} (θ)$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

解题步骤 3.2.2

从 $r^{2} \cos^{2} (θ) + r^{2} (- 1 \sin^{2} (θ))$ 中分解出因数 $r^{2}$ 。

$r^{2} (\cos^{2} (θ) - 1 \sin^{2} (θ)) = 1$

解题步骤 3.3

因数。

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解题步骤 3.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (θ)$ 和 $b = \sin (θ)$ 。

$r^{2} ((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))) = 1$

解题步骤 3.3.2

去掉多余的括号。

$r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$

解题步骤 3.4

将 $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ 中的每一项除以 $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ 并化简。

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解题步骤 3.4.1

将 $r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)) = 1$ 中的每一项都除以 $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ 。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

约去 $\cos (θ) + \sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.4.2.2

约去 $\cos (θ) - \sin (θ)$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{r^{2} (\cos (θ) - \sin (θ))}{\cos (θ) - \sin (θ)} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.4.2.2.2

用 $r^{2}$ 除以 $1$ 。

$r^{2} = \frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.5

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$r = \pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6

化简 $\pm \sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $\sqrt{\frac{1}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6.3

将 $\frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$ 。

$r = \pm \frac{1}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}} \cdot \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6.4

合并和化简分母。

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解题步骤 3.6.4.1

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6.4.2

对 $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} \sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}$

解题步骤 3.6.4.3

对 $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ 进行 $1$ 次方运算。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1} {\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1}}$

解题步骤 3.6.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{1 + 1}}$

解题步骤 3.6.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.6

将 ${\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}^{2}$ 重写为 $(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$ 。

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解题步骤 3.6.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$ 重写成 ${((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{({((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 3.6.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 3.6.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.6.4.1

约去公因数。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 3.6.4.6.4.2

重写表达式。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{{((\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ)))}^{1}}$

解题步骤 3.6.4.6.5

化简。

$r = \pm \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.7.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.7.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

解题步骤 3.7.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

$r = - \frac{\sqrt{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}}{(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))}$

代数 示例

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