代数示例

$x^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

解题步骤 1

代入 $u$ 替换 $x^{4}$ 。

$u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$

解题步骤 2

这是复数的三角函数形式，其中 $| z |$ 是模数， $θ$ 是复平面上形成的夹角。

$z = a + b i = | z | (\cos (θ) + i \sin (θ))$

解题步骤 3

复数的模是复平面上距离原点的距离。

当 $z = a + b i$ 时， $| z | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 4

代入 $a = - 2$ 和 $b = 2 \sqrt{3}$ 的实际值。

$| z | = \sqrt{{(2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5

求 $| z |$ 。

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解题步骤 5.1

化简表达式。

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解题步骤 5.1.1

对 $2 \sqrt{3}$ 运用乘积法则。

$| z | = \sqrt{2^{2} {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{4 {\sqrt{3}}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$| z | = \sqrt{4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3^{\frac{2}{2}} + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.2.5

计算指数。

$| z | = \sqrt{4 \cdot 3 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简表达式。

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解题步骤 5.3.1

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$| z | = \sqrt{12 + {(- 2)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$| z | = \sqrt{12 + 4}$

解题步骤 5.3.3

将 $12$ 和 $4$ 相加。

$| z | = \sqrt{16}$

解题步骤 5.3.4

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| z | = \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$| z | = 4$

解题步骤 6

复平面上点的角为复数部分除以实数部分的逆正切。

$θ = \arctan (\frac{2 \sqrt{3}}{- 2})$

解题步骤 7

因为 $\frac{2 \sqrt{3}}{- 2}$ 的反正切得出位于第二象限的一个角，所以其角度为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 8

代入 $θ = \frac{2 π}{3}$ 和 $| z | = 4$ 的值。

$4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 9

使用三角函数替换等式的右边。

$u^{4} = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 10

使用棣莫弗定理求 $u$ 方程。

$r^{4} (c o s (4 θ) + i s i n (4 θ)) = - 2 + 2 \sqrt{3} i = 4 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 11

使三角形式的模数等于 $r^{4}$ ，求 $r$ 的值。

$r^{4} = 4$

解题步骤 12

求解 $r$ 的方程。

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解题步骤 12.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$r = \pm \sqrt[4]{4}$

解题步骤 12.2

化简 $\pm \sqrt[4]{4}$ 。

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解题步骤 12.2.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$r = \pm \sqrt[4]{2^{2}}$

解题步骤 12.2.2

将 $\sqrt[4]{2^{2}}$ 重写为 $\sqrt{\sqrt{2^{2}}}$ 。

$r = \pm \sqrt{\sqrt{2^{2}}}$

解题步骤 12.2.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$r = \pm \sqrt{2}$

解题步骤 12.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$r = \sqrt{2}$

解题步骤 12.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$r = - \sqrt{2}$

解题步骤 12.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$r = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

解题步骤 13

求 $r$ 的近似值。

$r = 1.41421356$

解题步骤 14

求 $θ$ 的可能值。

$c o s (4 θ) = c o s (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$ 和 $s i n (4 θ) = s i n (\frac{2 π}{3} + 2 π n)$

解题步骤 15

求使方程 $4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$ 成立的 $θ$ 的所有可能取值。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π n$

解题步骤 16

求满足 $r = 0$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (0)$

解题步骤 17

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 17.1

化简。

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解题步骤 17.1.1

乘以 $2 π \cdot 0$ 。

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解题步骤 17.1.1.1

将 $0$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0 π$

解题步骤 17.1.1.2

将 $0$ 乘以 $π$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 0$

解题步骤 17.1.2

将 $\frac{2 π}{3}$ 和 $0$ 相加。

$4 θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 17.2

将 $4 θ = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 17.2.1

将 $4 θ = \frac{2 π}{3}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

解题步骤 17.2.2

化简左边。

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解题步骤 17.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

解题步骤 17.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{2 π}{3}}{4}$

解题步骤 17.2.3

化简右边。

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解题步骤 17.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 17.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.3.2.1

从 $2 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 17.2.3.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

解题步骤 17.2.3.2.3

约去公因数。

$θ = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 17.2.3.2.4

重写表达式。

$θ = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 17.2.3.3

将 $\frac{π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 17.2.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 18

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ 的解。

$u_{0} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 19

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 19.1

化简每一项。

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解题步骤 19.1.1

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{π}{6}))$

解题步骤 19.1.2

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + i (\frac{1}{2}))$

解题步骤 19.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{i}{2})$

解题步骤 19.2

运用分配律。

$u_{0} = 1.41421356 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.3

乘以 $1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 19.3.1

组合 $1.41421356$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{0} = \frac{1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.3.2

将 $1.41421356$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + 1.41421356 (\frac{i}{2})$

解题步骤 19.4

组合 $1.41421356$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

$u_{0} = \frac{2.44948974}{2} + \frac{1.41421356 i}{2}$

解题步骤 19.5

化简每一项。

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解题步骤 19.5.1

用 $2.44948974$ 除以 $2$ 。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 i}{2}$

解题步骤 19.5.2

从 $1.41421356 i$ 中分解出因数 $1.41421356$ 。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2}$

解题步骤 19.5.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 19.5.4

分离分数。

$u_{0} = 1.22474487 + \frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1}$

解题步骤 19.5.5

用 $1.41421356$ 除以 $2$ 。

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 (\frac{i}{1})$

解题步骤 19.5.6

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

解题步骤 20

用 $x^{4}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{0} = 0 + 1.22474487 + 0.70710678 i$

解题步骤 21

求满足 $r = 1$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (1)$

解题步骤 22

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 22.1

化简。

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解题步骤 22.1.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π$

解题步骤 22.1.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 22.1.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{2 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 22.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{2 π + 2 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 22.1.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{2 π + 6 π}{3}$

解题步骤 22.1.6

将 $2 π$ 和 $6 π$ 相加。

$4 θ = \frac{8 π}{3}$

解题步骤 22.2

将 $4 θ = \frac{8 π}{3}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 22.2.1

将 $4 θ = \frac{8 π}{3}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

解题步骤 22.2.2

化简左边。

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解题步骤 22.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

解题步骤 22.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{8 π}{3}}{4}$

解题步骤 22.2.3

化简右边。

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解题步骤 22.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{8 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 22.2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 22.2.3.2.1

从 $8 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 22.2.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{4 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 22.2.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 23

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ 的解。

$u_{1} = 1.41421356 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 24

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 24.1

化简每一项。

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解题步骤 24.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$u_{1} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 24.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 24.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 24.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + i (\frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 24.1.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 24.2

运用分配律。

$u_{1} = 1.41421356 (- \frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 24.3

乘以 $1.41421356 (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 24.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1.41421356$ 。

$u_{1} = - 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 24.3.2

组合 $- 1.41421356$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + 1.41421356 (\frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 24.4

乘以 $1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 24.4.1

组合 $1.41421356$ 和 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 24.4.2

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $1.41421356$ 。

$u_{1} = \frac{- 1.41421356}{2} + \frac{2.44948974 i}{2}$

解题步骤 24.5

化简每一项。

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解题步骤 24.5.1

用 $- 1.41421356$ 除以 $2$ 。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 i}{2}$

解题步骤 24.5.2

从 $2.44948974 i$ 中分解出因数 $2.44948974$ 。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2}$

解题步骤 24.5.3

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 24.5.4

分离分数。

$u_{1} = - 0.70710678 + \frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1}$

解题步骤 24.5.5

用 $2.44948974$ 除以 $2$ 。

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 (\frac{i}{1})$

解题步骤 24.5.6

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

解题步骤 25

用 $x^{4}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{1} = 0 - 0.70710678 + 1.22474487 i$

解题步骤 26

求满足 $r = 2$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (2)$

解题步骤 27

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 27.1

化简。

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解题步骤 27.1.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π$

解题步骤 27.1.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 4 π \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 27.1.3

组合 $4 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{4 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 27.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{2 π + 4 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 27.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$4 θ = \frac{2 π + 12 π}{3}$

解题步骤 27.1.6

将 $2 π$ 和 $12 π$ 相加。

$4 θ = \frac{14 π}{3}$

解题步骤 27.2

将 $4 θ = \frac{14 π}{3}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 27.2.1

将 $4 θ = \frac{14 π}{3}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

解题步骤 27.2.2

化简左边。

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解题步骤 27.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

解题步骤 27.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{14 π}{3}}{4}$

解题步骤 27.2.3

化简右边。

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解题步骤 27.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{14 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 27.2.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 27.2.3.2.1

从 $14 π$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 27.2.3.2.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 (2)}$

解题步骤 27.2.3.2.3

约去公因数。

$θ = \frac{2 (7 π)}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 2}$

解题步骤 27.2.3.2.4

重写表达式。

$θ = \frac{7 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 27.2.3.3

将 $\frac{7 π}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$θ = \frac{7 π}{3 \cdot 2}$

解题步骤 27.2.3.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 28

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ 的解。

$u_{2} = 1.41421356 (\cos (\frac{7 π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 29

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 29.1

化简每一项。

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解题步骤 29.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$u_{2} = 1.41421356 (- \cos (\frac{π}{6}) + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 29.1.2

$\cos (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i \sin (\frac{7 π}{6}))$

解题步骤 29.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \sin (\frac{π}{6})))$

解题步骤 29.1.4

$\sin (\frac{π}{6})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + i (- \frac{1}{2}))$

解题步骤 29.1.5

组合 $i$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{i}{2})$

解题步骤 29.2

运用分配律。

$u_{2} = 1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

解题步骤 29.3

乘以 $1.41421356 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 29.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1.41421356$ 。

$u_{2} = - 1.41421356 \frac{\sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

解题步骤 29.3.2

组合 $- 1.41421356$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{2} = \frac{- 1.41421356 \sqrt{3}}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

解题步骤 29.3.3

将 $- 1.41421356$ 乘以 $\sqrt{3}$ 。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + 1.41421356 (- \frac{i}{2})$

解题步骤 29.4

乘以 $1.41421356 (- \frac{i}{2})$ 。

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解题步骤 29.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1.41421356$ 。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} - 1.41421356 \frac{i}{2}$

解题步骤 29.4.2

组合 $- 1.41421356$ 和 $\frac{i}{2}$ 。

$u_{2} = \frac{- 2.44948974}{2} + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

解题步骤 29.5

化简每一项。

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解题步骤 29.5.1

用 $- 2.44948974$ 除以 $2$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 + \frac{- 1.41421356 i}{2}$

解题步骤 29.5.2

将负号移到分数的前面。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{(1.41421356) i}{2}$

解题步骤 29.5.3

从 $1.41421356 i$ 中分解出因数 $1.41421356$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2}$

解题步骤 29.5.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 - \frac{1.41421356 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 29.5.5

分离分数。

$u_{2} = - 1.22474487 - (\frac{1.41421356}{2} \cdot \frac{i}{1})$

解题步骤 29.5.6

用 $1.41421356$ 除以 $2$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 (\frac{i}{1}))$

解题步骤 29.5.7

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 - (0.70710678 i)$

解题步骤 29.5.8

将 $0.70710678$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

解题步骤 30

用 $x^{4}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{2} = 0 - 1.22474487 - 0.70710678 i$

解题步骤 31

求满足 $r = 3$ 的 $θ$ 的值。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 2 π (3)$

解题步骤 32

求解 $θ$ 的方程。

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解题步骤 32.1

化简。

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解题步骤 32.1.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π$

解题步骤 32.1.2

要将 $6 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + 6 π \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 32.1.3

组合 $6 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$4 θ = \frac{2 π}{3} + \frac{6 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 32.1.4

在公分母上合并分子。

$4 θ = \frac{2 π + 6 π \cdot 3}{3}$

解题步骤 32.1.5

将 $3$ 乘以 $6$ 。

$4 θ = \frac{2 π + 18 π}{3}$

解题步骤 32.1.6

将 $2 π$ 和 $18 π$ 相加。

$4 θ = \frac{20 π}{3}$

解题步骤 32.2

将 $4 θ = \frac{20 π}{3}$ 中的每一项除以 $4$ 并化简。

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解题步骤 32.2.1

将 $4 θ = \frac{20 π}{3}$ 中的每一项都除以 $4$ 。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

解题步骤 32.2.2

化简左边。

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解题步骤 32.2.2.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 32.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{4 θ}{4} = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

解题步骤 32.2.2.1.2

用 $θ$ 除以 $1$ 。

$θ = \frac{\frac{20 π}{3}}{4}$

解题步骤 32.2.3

化简右边。

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解题步骤 32.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$θ = \frac{20 π}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 32.2.3.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 32.2.3.2.1

从 $20 π$ 中分解出因数 $4$ 。

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 32.2.3.2.2

约去公因数。

$θ = \frac{4 (5 π)}{3} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 32.2.3.2.3

重写表达式。

$θ = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 33

使用 $θ$ 和 $r$ 的值求方程 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ 的解。

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{5 π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

解题步骤 34

把解转换成直角坐标形式。

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解题步骤 34.1

化简每一项。

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解题步骤 34.1.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$u_{3} = 1.41421356 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

解题步骤 34.1.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{5 π}{3}))$

解题步骤 34.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \sin (\frac{π}{3})))$

解题步骤 34.1.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} + i (- \frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 34.1.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2} - \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 34.2

化简项。

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解题步骤 34.2.1

运用分配律。

$u_{3} = 1.41421356 (\frac{1}{2}) + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 34.2.2

组合 $1.41421356$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + 1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 34.3

乘以 $1.41421356 (- \frac{i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 34.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1.41421356$ 。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} - 1.41421356 \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 34.3.2

组合 $- 1.41421356$ 和 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 1.41421356 (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 34.3.3

将 $\sqrt{3}$ 乘以 $- 1.41421356$ 。

$u_{3} = \frac{1.41421356}{2} + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

解题步骤 34.4

化简每一项。

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解题步骤 34.4.1

用 $1.41421356$ 除以 $2$ 。

$u_{3} = 0.70710678 + \frac{- 2.44948974 i}{2}$

解题步骤 34.4.2

将负号移到分数的前面。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{(2.44948974) i}{2}$

解题步骤 34.4.3

从 $2.44948974 i$ 中分解出因数 $2.44948974$ 。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2}$

解题步骤 34.4.4

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$u_{3} = 0.70710678 - \frac{2.44948974 (i)}{2 (1)}$

解题步骤 34.4.5

分离分数。

$u_{3} = 0.70710678 - (\frac{2.44948974}{2} \cdot \frac{i}{1})$

解题步骤 34.4.6

用 $2.44948974$ 除以 $2$ 。

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 (\frac{i}{1}))$

解题步骤 34.4.7

用 $i$ 除以 $1$ 。

$u_{3} = 0.70710678 - (1.22474487 i)$

解题步骤 34.4.8

将 $1.22474487$ 乘以 $- 1$ 。

$u_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

解题步骤 35

用 $x^{4}$ 代替 $u$ 以计算右移后 $z$ 的值。

$z_{3} = 0 + 0.70710678 - 1.22474487 i$

解题步骤 36

这些是 $u^{4} = - 2 + 2 \sqrt{3} i$ 的复数解。

$z_{0} = 1.22474487 + 0.70710678 i$

$z_{1} = - 0.70710678 + 1.22474487 i$

$z_{2} = - 1.22474487 - 0.70710678 i$

$z_{3} = 0.70710678 - 1.22474487 i$

代数 示例

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