代数示例

$f (x) = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$

解题步骤 1

求渐近线。

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解题步骤 1.1

对于任意 $y = \cot (x)$ ，垂直渐近线均出现在 $x = n π$ ，其中 $n$ 为一个整数。使用 $y = \cot (x)$ 、 $(0, π)$ 的基本周期可求 $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线。将余切函数的变量设为 $b x + c$ ，使得 $y = a \cot (b x + c) + d$ 等于 $0$ ，以求 $y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线出现的坐标位置。

$x - \frac{π}{4} = 0$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 1.3

使余切函数内的 $x - \frac{π}{4}$ 等于 $π$ 。

$x - \frac{π}{4} = π$

解题步骤 1.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 1.4.1

在等式两边都加上 $\frac{π}{4}$ 。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.3

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 1.4.4

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 1.4.5

化简分子。

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解题步骤 1.4.5.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 1.4.5.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 1.5

$y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ 的基期将出现在 $(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$ ，其中 $\frac{π}{4}$ 和 $\frac{5 π}{4}$ 为垂直渐近线。

$(\frac{π}{4}, \frac{5 π}{4})$

解题步骤 1.6

求周期 $\frac{π}{| b |}$ 以确定垂直渐近线的位置。

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解题步骤 1.6.1

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 1.6.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 1.7

$y = 2 \cot (x - \frac{π}{4})$ 的垂直渐近线出现在 $\frac{π}{4}$ 、 $\frac{5 π}{4}$ 以及每一处 $x = \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 为整数。

$x = \frac{π}{4} + π n$

解题步骤 1.8

余切只有垂直渐近线。

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

垂直渐近线： $x = \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

解题步骤 2

使用 $a \cot (b x - c) + d$ 的形式求用于求振幅、周期、相移和垂直位移的变量。

$a = 2$

$b = 1$

$c = \frac{π}{4}$

$d = 0$

解题步骤 3

因为函数 $c o t$ 的图像没有最大值或最小值，所以不存在振幅值。

振幅：无

解题步骤 4

求 $2 \cot (x - \frac{π}{4})$ 的周期。

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解题步骤 4.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5

使用公式 $\frac{c}{b}$ 求相移。

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解题步骤 5.1

函数的相移可通过 $\frac{c}{b}$ 计算。

相移： $\frac{c}{b}$

解题步骤 5.2

替换相移方程中 $c$ 和 $b$ 的值。

相移： $\frac{\frac{π}{4}}{1}$

解题步骤 5.3

用 $\frac{π}{4}$ 除以 $1$ 。

相移： $\frac{π}{4}$

解题步骤 6

列出三角函数的性质。

振幅：无

周期： $π$

相移： $\frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 7

三角函数可通过振幅、周期、相移、垂直位移和相关点来绘制出其图象。

垂直渐近线： $x = \frac{π}{4} + π n$ ，其中 $n$ 是一个整数

振幅：无

周期： $π$

相移： $\frac{π}{4}$ （ $\frac{π}{4}$ 向右移）

垂直位移：无

解题步骤 8

代数 示例

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