代数示例

$0 = x^{4} + 3 x^{2} - 4$

解题步骤 1

将方程重写为 $x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ 。

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$

解题步骤 2

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$u^{2} + 3 u - 4 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} + 3 u - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $3$ 。

$- 1, 4$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 4) = 0$

$(u - 1) (u + 4) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

$u + 4 = 0$

解题步骤 5

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 5.1

将 $u - 1$ 设为等于 $0$ 。

$u - 1 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$u = 1$

$u = 1$

解题步骤 6

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.1

将 $u + 4$ 设为等于 $0$ 。

$u + 4 = 0$

解题步骤 6.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$u = - 4$

$u = - 4$

解题步骤 7

最终解为使 $(u - 1) (u + 4) = 0$ 成立的所有值。

$u = 1, - 4$

解题步骤 8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = 1$

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = 1$

解题步骤 10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 10.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm 1$

解题步骤 10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 1$

解题步骤 10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 1$

解题步骤 10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

$x = 1, - 1$

解题步骤 11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = - 4$

解题步骤 12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = - 4$

解题步骤 12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 4}$

解题步骤 12.3

化简 $\pm \sqrt{- 4}$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (4)}$

解题步骤 12.3.2

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 12.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{4}$

解题步骤 12.3.4

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 12.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 2$

解题步骤 12.3.6

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 2 i$

$x = \pm 2 i$

解题步骤 12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2 i$

解题步骤 12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2 i$

解题步骤 12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 2 i, - 2 i$

$x = 2 i, - 2 i$

解题步骤 13

$x^{4} + 3 x^{2} - 4 = 0$ 的解是 $x = 1, - 1, 2 i, - 2 i$ 。

$x = 1, - 1, 2 i, - 2 i$

解题步骤 14

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$