代数示例

$(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$

解题步骤 1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 2

将 $\cot (θ) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 2.1

将 $\cot (θ) - \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$

解题步骤 2.2

求解 $θ$ 的 $\cot (θ) - \sqrt{3} = 0$ 。

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解题步骤 2.2.1

在等式两边都加上 $\sqrt{3}$ 。

$\cot (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 2.2.2

取方程两边的逆余切从而提取余切内的 $θ$ 。

$θ = arccot (\sqrt{3})$

解题步骤 2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.1

$arccot (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{6}$ 。

$θ = \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.4

余切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.5

化简 $π + \frac{π}{6}$ 。

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解题步骤 2.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 2.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

解题步骤 2.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

解题步骤 2.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.2.5.3.1

将 $6$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

解题步骤 2.2.5.3.2

将 $6 π$ 和 $π$ 相加。

$θ = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 2.2.6

求 $\cot (θ)$ 的周期。

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解题步骤 2.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 2.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 2.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 2.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 2.2.7

$\cot (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3

将 $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (θ) + \sqrt{3}$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$

解题步骤 3.2

求解 $θ$ 的 $2 \sin (θ) + \sqrt{3} = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $\sqrt{3}$ 。

$2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \sin (θ) = - \sqrt{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (θ)$ 除以 $1$ 。

$\sin (θ) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (θ) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $θ$ 。

$θ = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$θ = - \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π$

解题步骤 3.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$θ = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

解题步骤 3.2.6.2

得出的角 $\frac{4 π}{3}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{3} + π$ 共边。

$θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 3.2.7

求 $\sin (θ)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + 2 π$

解题步骤 3.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 3.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 3.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 3.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.4.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 3.2.8.4.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{5 π}{3}$

解题步骤 3.2.8.5

列出新角。

$θ = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 3.2.9

$\sin (θ)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

最终解为使 $(\cot (θ) - \sqrt{3}) (2 \sin (θ) + \sqrt{3}) = 0$ 成立的所有值。

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{7 π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\frac{π}{6} + π n$ 和 $\frac{7 π}{6} + π n$ 合并为 $\frac{π}{6} + π n$ 。

$θ = \frac{π}{6} + π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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