代数示例

$f (x) = 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$ 写为等式。

$y = 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10 = x$ 。

$2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $10$ 。

$2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}} = x - 10$

解题步骤 3.3

将方程两边同时进行 $3$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简指数。

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解题步骤 3.4.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.1.1

化简 ${(2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.1.1.1

对 $2 {(y - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 运用乘积法则。

$2^{3} {({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.2

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 {({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.3

将 ${({(y - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.1.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$8 {(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.1.1.3.2.1

约去公因数。

$8 {(y - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.3.2.2

重写表达式。

$8 {(y - 6)}^{1} = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.4

化简。

$8 (y - 6) = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.5

运用分配律。

$8 y + 8 \cdot - 6 = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.1.1.6

将 $8$ 乘以 $- 6$ 。

$8 y - 48 = {(x - 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(x - 10)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

使用二项式定理。

$8 y - 48 = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 10 + 3 x {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

将 $- 10$ 乘以 $3$ 。

$8 y - 48 = x^{3} - 30 x^{2} + 3 x {(- 10)}^{2} + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$8 y - 48 = x^{3} - 30 x^{2} + 3 x \cdot 100 + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.3

将 $100$ 乘以 $3$ 。

$8 y - 48 = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x + {(- 10)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.4

对 $- 10$ 进行 $3$ 次方运算。

$8 y - 48 = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x - 1000$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将所有不包含 $y$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 3.5.1.1

在等式两边都加上 $48$ 。

$8 y = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x - 1000 + 48$

解题步骤 3.5.1.2

将 $- 1000$ 和 $48$ 相加。

$8 y = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x - 952$

解题步骤 3.5.2

将 $8 y = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x - 952$ 中的每一项除以 $8$ 并化简。

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解题步骤 3.5.2.1

将 $8 y = x^{3} - 30 x^{2} + 300 x - 952$ 中的每一项都除以 $8$ 。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 30 x^{2}}{8} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.2.1

约去 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 30 x^{2}}{8} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 30 x^{2}}{8} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1

约去 $- 30$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.1

从 $- 30 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{2 (- 15 x^{2})}{8} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{2 (- 15 x^{2})}{2 (4)} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{2 (- 15 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.1.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{8} + \frac{- 15 x^{2}}{4} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.2

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{300 x}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3

约去 $300$ 和 $8$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.3.1

从 $300 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{4 (75 x)}{8} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3.2

约去公因数。

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解题步骤 3.5.2.3.1.3.2.1

从 $8$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{4 (75 x)}{4 (2)} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3.2.2

约去公因数。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{4 (75 x)}{4 \cdot 2} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.3.2.3

重写表达式。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} + \frac{- 952}{8}$

解题步骤 3.5.2.3.1.4

用 $- 952$ 除以 $8$ 。

$y = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119$ 是否为 $f (x) = 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{{(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.1.1.1

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{{(2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 10)}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.1.1.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{{(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5)}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.1.1.3

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{{(2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.1.2

对 $2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{2^{3} {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = \frac{8 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{3}}{8} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.2

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.3

用 ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{3}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.4

使用二项式定理。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.5.1

将 ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1.2.1

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.5.1.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = (x - 6) + 3 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.2

化简。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 3 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.3

将 ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.5.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.3.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 3 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} \cdot 5 + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.4

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.5

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 3 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 25 + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.6

将 $25$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5^{3} - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.5.7

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 6 + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 125 - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.6

将 $- 6$ 和 $125$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.7.1

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.3.7.1.1

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 {(2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 10)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7.1.2

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 {(2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7.1.3

从 $2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 2 \cdot 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 {(2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7.2

对 $2 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 \cdot (2^{2} {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2})}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7.3

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 \cdot (4 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2})}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.7.4

将 $15$ 乘以 $4$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{60 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.8

从 $60 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{4 (15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2})}{4} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.9

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.9.1

从 $4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{4 (15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2})}{4 (1)} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.9.2

约去公因数。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{4 (15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2})}{4 \cdot 1} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.9.3

重写表达式。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - \frac{15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}}{1} + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.9.4

用 $15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 {({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.10

将 ${({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)}^{2}$ 重写为 $({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5) ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 (({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5) ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.11

使用 FOIL 方法展开 $({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5) ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)$ 。

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解题步骤 5.2.3.11.1

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5) + 5 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.11.2

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.11.3

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot 5)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.12.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.12.1.1

通过指数相加将 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 乘以 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.2.3.12.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot 5)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12.1.1.2

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{1 + 1}{3}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot 5)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12.1.1.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} \cdot 5 + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot 5)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12.1.2

将 $5$ 移到 ${(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 的左侧。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 5 \cdot {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 \cdot 5)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 25)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.12.2

将 $5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $5 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 ({(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 10 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 25)) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.13

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 15 (10 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) + 15 \cdot 25) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.14

化简。

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解题步骤 5.2.3.14.1

将 $10$ 乘以 $15$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 15 \cdot 25) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.14.2

将 $15$ 乘以 $25$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 375) + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.15

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - (15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}) - (150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 375 + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.16

化简。

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解题步骤 5.2.3.16.1

将 $15$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - (150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}) - 1 \cdot 375 + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.16.2

将 $150$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 1 \cdot 375 + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.16.3

将 $- 1$ 乘以 $375$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + \frac{75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.17

从 $75 (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + \frac{2 (75 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5))}{2} - 119$

解题步骤 5.2.3.18

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.18.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

解题步骤 5.2.3.18.2

约去公因数。

解题步骤 5.2.3.18.3

重写表达式。

解题步骤 5.2.3.18.4

用 $75 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5)$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + 75 ({(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 5) - 119$

解题步骤 5.2.3.19

运用分配律。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 \cdot 5 - 119$

解题步骤 5.2.3.20

将 $75$ 乘以 $5$ 。

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 375 - 119$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 中减去 $15 {(x - 6)}^{\frac{2}{3}}$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 + 0 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 375 - 119$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 375 + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 375 - 119$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $- 375$ 和 $375$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 0 - 119$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 119 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 119$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $119$ 中减去 $119$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 0 - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.1.6

将 $x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} - 150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.2

从 $75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 中减去 $150 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x - 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x - 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

将 $- 75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 和 $75 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}}$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119)$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119) = 2 {((\frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119) - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$

解题步骤 5.3.3

从 $- 119$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119) = 2 {(\frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 125)}^{\frac{1}{3}} + 10$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119$ 为 $f (x) = 2 {(x - 6)}^{\frac{1}{3}} + 10$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{8} - \frac{15 x^{2}}{4} + \frac{75 x}{2} - 119$

代数 示例

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