代数示例

$\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln (3 x (2 x)) = 3$

解题步骤 1.2

使用乘法的交换性质重写。

$\ln (3 \cdot (2 x \cdot x)) = 3$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.1

移动 $x$ 。

$\ln (3 \cdot (2 (x \cdot x))) = 3$

解题步骤 1.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\ln (3 \cdot (2 x^{2})) = 3$

解题步骤 1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\ln (6 x^{2}) = 3$

解题步骤 2

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (6 x^{2})} = e^{3}$

解题步骤 3

使用对数的定义将 $\ln (6 x^{2}) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{3} = 6 x^{2}$

解题步骤 4

求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将方程重写为 $6 x^{2} = e^{3}$ 。

$6 x^{2} = e^{3}$

解题步骤 4.2

将 $6 x^{2} = e^{3}$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $6 x^{2} = e^{3}$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 x^{2}}{6} = \frac{e^{3}}{6}$

解题步骤 4.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{e^{3}}{6}$

解题步骤 4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$

解题步骤 4.4

化简 $\pm \sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ 。

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解题步骤 4.4.1

将 $\sqrt{\frac{e^{3}}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{3}}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.2

化简分子。

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解题步骤 4.4.2.1

因式分解出 $e^{2}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{e^{2} e}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.2.2

从根式下提出各项。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.3

将 $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 4.4.4.1

将 $\frac{e \sqrt{e}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.4.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 4.4.4.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 4.4.4.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 4.4.4.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 4.4.4.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 4.4.4.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 4.4.4.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 4.4.4.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.4.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.4.4.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 4.4.4.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 4.4.4.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{e \sqrt{e} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 4.4.5

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

解题步骤 4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

解题步骤 4.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

解题步骤 4.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}, - \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

解题步骤 5

排除不能使 $\ln (3 x) + \ln (2 x) = 3$ 成立的解。

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{e \sqrt{6 e}}{6}$

小数形式：

$x = 1.82964190 \dots$

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