代数示例

$f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ 写为等式。

$y = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = {(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 ${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$ 。

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}} = x$

解题步骤 3.2

将方程两边同时进行 $5$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3

化简左边。

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解题步骤 3.3.1

化简 ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 3.3.1.1

将 ${({(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.1.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1.2.1

约去公因数。

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.1.1.2.2

重写表达式。

${(\frac{y^{7} - 2}{3})}^{1} = x^{5}$

解题步骤 3.3.1.2

分解分数 $\frac{y^{7} - 2}{3}$ 成为两个分数。

${(\frac{y^{7}}{3} + \frac{- 2}{3})}^{1} = x^{5}$

解题步骤 3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

${(\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3})}^{1} = x^{5}$

解题步骤 3.3.1.4

化简。

$\frac{y^{7}}{3} - \frac{2}{3} = x^{5}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{y^{7}}{3} = x^{5} + \frac{2}{3}$

解题步骤 3.4.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

解题步骤 3.4.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{y^{7}}{3} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

解题步骤 3.4.3.1.1.2

重写表达式。

$y^{7} = 3 (x^{5} + \frac{2}{3})$

解题步骤 3.4.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

化简 $3 (x^{5} + \frac{2}{3})$ 。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

运用分配律。

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.2.1

约去公因数。

$y^{7} = 3 x^{5} + 3 (\frac{2}{3})$

解题步骤 3.4.3.2.1.2.2

重写表达式。

$y^{7} = 3 x^{5} + 2$

解题步骤 3.4.4

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ 是否为 $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5} + 2}$

解题步骤 5.2.3

将 ${({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5} \cdot 5} + 2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{3 (\frac{x^{7} - 2}{3}) + 2}$

解题步骤 5.2.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} - 2 + 2}$

解题步骤 5.2.5

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7} + 0}$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x^{7}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = \sqrt[7]{x^{7}}$

解题步骤 5.2.6

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} ({(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(\sqrt[7]{3 x^{5} + 2})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ 重写成 ${(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.2

将 ${({(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7}})}^{7}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.2.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.2.1

约去公因数。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{{(3 x^{5} + 2)}^{\frac{1}{7} \cdot 7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.2.2.2

重写表达式。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{(3 x^{5} + 2) - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.3

化简。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 2 - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5} + 0}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.3.5

将 $3 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.1

约去公因数。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(\frac{3 x^{5}}{3})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.4.1.2

用 $x^{5}$ 除以 $1$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = {(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$

解题步骤 5.3.4.2

将 ${(x^{5})}^{\frac{1}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.3.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

解题步骤 5.3.4.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.2.2.1

约去公因数。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x^{5 (\frac{1}{5})}$

解题步骤 5.3.4.2.2.2

重写表达式。

$f (\sqrt[7]{3 x^{5} + 2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$ 为 $f (x) = {(\frac{x^{7} - 2}{3})}^{\frac{1}{5}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[7]{3 x^{5} + 2}$

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