代数示例

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

解题步骤 1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $4$ 。

$1, 3$

解题步骤 1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ 。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

解题步骤 3

要将 $- \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ 。

$\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6} \cdot \frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

解题步骤 4

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $(x^{2} + x - 6) (x + 1) (x + 3)$ 的形式。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{x - 1}{x^{2} + x - 6}$ 乘以 $\frac{(x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)}$ 。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)} \cdot \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$

解题步骤 4.2

将 $\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$ 乘以 $\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + x - 6}$ 。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 4.3

重新排序 $(x^{2} + x - 6) ((x + 1) (x + 3))$ 的因式。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3))}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)} - \frac{(x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 5

在公分母上合并分子。

$\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6

以因式分解的形式重写 $\frac{(x - 1) ((x + 1) (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$ 。

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解题步骤 6.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 3)$ 。

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解题步骤 6.1.1

运用分配律。

$\frac{(x - 1) (x (x + 3) + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.1.2

运用分配律。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 (x + 3)) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.1.3

运用分配律。

$\frac{(x - 1) (x \cdot x + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.2.1

化简每一项。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.2.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + 1 x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.2.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 1 \cdot 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.2.1.4

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 3 x + x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.2.2

将 $3 x$ 和 $x$ 相加。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3) - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.3

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x - 1) (x^{2} + 4 x + 3)$ 。

$\frac{x \cdot x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4

化简每一项。

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解题步骤 6.4.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.4.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{1} x^{2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 2} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} + x (4 x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.2

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{x^{3} + 4 x \cdot x + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.4.3.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 4 (x \cdot x) + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.3.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + x \cdot 3 - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.4

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - 1 x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.5

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 1 (4 x) - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 1 \cdot 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.4.7

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} + 3 x - x^{2} - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.5

从 $4 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} + 3 x - 4 x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.6

从 $3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x - - 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.8

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 + (- x + 2) (x^{2} + x - 6)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.9

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(- x + 2) (x^{2} + x - 6)$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x \cdot x^{2} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10

化简每一项。

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解题步骤 6.10.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 6.10.1.1

移动 $x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.1.2

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.10.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - (x^{2} x^{1}) - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{2 + 1} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.1.3

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x \cdot x - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 6.10.2.1

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - (x \cdot x) - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} - x \cdot - 6 + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.3

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x + 2 \cdot - 6}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.10.4

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} - x^{2} + 6 x + 2 x^{2} + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.11

将 $- x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 6 x + 2 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.12

将 $6 x$ 和 $2 x$ 相加。

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - x - 3 - x^{3} + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.13

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + 0 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.14

将 $3 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{3 x^{2} - x - 3 + x^{2} + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.15

将 $3 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$\frac{4 x^{2} - x - 3 + 8 x - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.16

将 $- x$ 和 $8 x$ 相加。

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 3 - 12}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.17

从 $- 3$ 中减去 $12$ 。

$\frac{4 x^{2} + 7 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18

分组因式分解。

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解题步骤 6.18.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot - 15 = - 60$ 并且它们的和为 $b = 7$ 。

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解题步骤 6.18.1.1

从 $7 x$ 中分解出因数 $7$ 。

$\frac{4 x^{2} + 7 (x) - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18.1.2

把 $7$ 重写为 $- 5$ 加 $12$

$\frac{4 x^{2} + (- 5 + 12) x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18.1.3

运用分配律。

$\frac{4 x^{2} - 5 x + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 6.18.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{(4 x^{2} - 5 x) + 12 x - 15}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{x (4 x - 5) + 3 (4 x - 5)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.18.3

通过因式分解出最大公因数 $4 x - 5$ 来因式分解多项式。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x^{2} + x - 6)}$

解题步骤 6.19

因数。

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解题步骤 6.19.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + x - 6$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.19.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 6$ ，和为 $1$ 。

$- 2, 3$

解题步骤 6.19.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) ((x - 2) (x + 3))}$

解题步骤 6.19.2

去掉多余的括号。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3) (x - 2) (x + 3)}$

解题步骤 6.20

合并指数。

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解题步骤 6.20.1

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} (x + 3)) (x - 2)}$

解题步骤 6.20.2

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) ({(x + 3)}^{1} {(x + 3)}^{1}) (x - 2)}$

解题步骤 6.20.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{1 + 1} (x - 2)}$

解题步骤 6.20.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.21

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{(4 x - 5) (x + 3)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$ 。

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解题步骤 6.21.1

从 $(4 x - 5) (x + 3)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)}$

解题步骤 6.21.2

从 $(x + 1) {(x + 3)}^{2} (x - 2)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

解题步骤 6.21.3

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (4 x - 5)}{(x + 3) (((x + 1) (x + 3)) (x - 2))}$

解题步骤 6.21.4

重写表达式。

$\frac{4 x - 5}{((x + 1) (x + 3)) (x - 2)}$

代数 示例

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