代数示例

$f (x) = {(3 x)}^{- \frac{2}{3}}$ on the domain $x > 0$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 1.2

将 $(- \infty, \infty)$ 转换为不等式。

$- \infty < y < \infty$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = {(3 y)}^{- \frac{2}{3}}$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 ${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$ 。

${(3 y)}^{- \frac{2}{3}} = x$

解题步骤 2.2.2

将方程两边同时进行 $- \frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3

化简指数。

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解题步骤 2.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 2.2.3.1.1

化简 ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1

将 ${({(3 y)}^{- \frac{2}{3}})}^{- \frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(3 y)}^{- \frac{2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.1

将 $- \frac{2}{3}$ 中前置负号移到分子中。

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} (- \frac{3}{2})} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.2

将 $- \frac{3}{2}$ 中前置负号移到分子中。

${(3 y)}^{\frac{- 2}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

${(3 y)}^{\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.4

约去公因数。

${(3 y)}^{\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- 3}{2}} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.2.5

重写表达式。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot - 3} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.3.1.1.1.3.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 1))} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.3.2

约去公因数。

${(3 y)}^{\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 1)} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.3.3

重写表达式。

${(3 y)}^{- - 1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

${(3 y)}^{1} = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.1.1.2

化简。

$3 y = \pm x^{- \frac{3}{2}}$

解题步骤 2.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.3.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$3 y = \pm \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.2

将 $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.2.1

将 $3 y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.4.2.3.2

合并。

$y = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

解题步骤 2.2.4.2.3.3

化简表达式。

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解题步骤 2.2.4.2.3.3.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}$

解题步骤 2.2.4.2.3.3.2

将 $3$ 移到 $x^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.3

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.4

将 $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 2.2.4.4.1

将 $3 y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.4.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}}{3}$

解题步骤 2.2.4.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.4.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = - \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{1}{3}$

解题步骤 2.2.4.4.3.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ 。

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

$y = - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{3 x^{\frac{3}{2}}}, - \infty < x < \infty$

解题步骤 4

代数 示例

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