代数示例

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \div \frac{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}{25 - x^{2}}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} + 15 x + 50}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 15 x + 50$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $50$ ，和为 $15$ 。

$5, 10$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{- x^{2} - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 3

从 $- x^{2} - 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) - 10 x} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 3.2

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x) + x \cdot - 10} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 3.3

从 $x (- x) + x \cdot - 10$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{x^{2} + 10 x + 16}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} + 10 x + 16$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $16$ ，和为 $10$ 。

$2, 8$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x^{2} + 7 x + 10} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $7$ 。

$2, 5$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 2) (x + 5)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $(x + 2) (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

$\frac{(x + 5) (x + 10)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{(x + 5) (x + 2)} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.1.3

重写表达式。

$\frac{x + 10}{x (- x - 10)} \cdot \frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2} \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x + 10}{x (- x - 10)}$ 乘以 $\frac{(x + 2) (x + 8)}{x + 2}$ 。

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.3

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

约去公因数。

$\frac{(x + 10) ((x + 2) (x + 8))}{x (- x - 10) (x + 2)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.3.2

重写表达式。

$\frac{(x + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.4

约去 $x + 10$ 和 $- x - 10$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(- 1 (- x) + 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.4.2

将 $10$ 重写为 $- 1 (- 10)$ 。

$\frac{(- 1 (- x) - 1 (- 10)) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.4.3

从 $- 1 (- x) - 1 (- 10)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.4.4

约去公因数。

$\frac{- 1 (- x - 10) (x + 8)}{x (- x - 10)} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.4.5

重写表达式。

$\frac{- 1 (x + 8)}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 6.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{25 - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{5^{2} - x^{2}}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x^{3} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 8

化简分母。

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解题步骤 8.1

从 $x^{3} + 13 x^{2} + 40 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 8.1.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + 13 x^{2} + 40 x}$

解题步骤 8.1.2

从 $13 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + 40 x}$

解题步骤 8.1.3

从 $40 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x \cdot x^{2} + x (13 x) + x \cdot 40}$

解题步骤 8.1.4

从 $x \cdot x^{2} + x (13 x)$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40}$

解题步骤 8.1.5

从 $x (x^{2} + 13 x) + x \cdot 40$ 中分解出因数 $x$ 。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x^{2} + 13 x + 40)}$

解题步骤 8.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 13 x + 40$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $40$ ，和为 $13$ 。

$5, 8$

解题步骤 8.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x ((x + 5) (x + 8))}$

$- \frac{x + 8}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

约去 $x + 8$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $- \frac{x + 8}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (x + 8)}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

解题步骤 9.1.2

从 $- (x + 8)$ 中分解出因数 $x + 8$ 。

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5) (x + 8)}$

解题步骤 9.1.3

从 $x (x + 5) (x + 8)$ 中分解出因数 $x + 8$ 。

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

解题步骤 9.1.4

约去公因数。

$\frac{(x + 8) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{(x + 8) (x (x + 5))}$

解题步骤 9.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{- 1}{x}$ 乘以 $\frac{(5 + x) (5 - x)}{x (x + 5)}$ 。

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x (x (x + 5))}$

解题步骤 10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x (x + 5)}$

解题步骤 11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1} x^{1} (x + 5)}$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{1 + 1} (x + 5)}$

解题步骤 13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- ((5 + x) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

解题步骤 14

约去 $5 + x$ 和 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

重新排序项。

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

解题步骤 14.2

约去公因数。

$\frac{- ((x + 5) (5 - x))}{x^{2} (x + 5)}$

解题步骤 14.3

重写表达式。

$\frac{- (5 - x)}{x^{2}}$

解题步骤 15

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 - x}{x^{2}}$

代数 示例

代数示例