代数示例

$\tan (2 θ) + \tan (θ) = 0$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

使用正切倍角公式。

$\frac{2 \tan (θ)}{1 - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{2 \tan (θ)}{1^{2} - \tan^{2} (θ)} + \tan (θ) = 0$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = \tan (θ)$ 。

$\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

解题步骤 2

从 $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ)$ 中分解出因数 $\tan (θ)$ 。

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解题步骤 2.1

从 $\frac{2 \tan (θ)}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))}$ 中分解出因数 $\tan (θ)$ 。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.2

对 $\tan (θ)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) = 0$

解题步骤 2.3

从 $\tan^{1} (θ)$ 中分解出因数 $\tan (θ)$ 。

$\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1 = 0$

解题步骤 2.4

从 $\tan (θ) \frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + \tan (θ) \cdot 1$ 中分解出因数 $\tan (θ)$ 。

$\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (θ)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (θ) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $θ$ 的 $\tan (θ) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$θ = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$θ = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $θ$ 的 $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)), 1, 1$

解题步骤 5.2.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$

解题步骤 5.2.2

将 $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ 中的每一项乘以 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 以消去分数。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1 = 0$ 中的每一项乘以 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.1.2

重写表达式。

$2 + 1 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

将 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 乘以 $1$ 。

$2 + (1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.3.1

运用分配律。

$2 + 1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.2

运用分配律。

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.3.3

运用分配律。

$2 + 1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 + 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.2

将 $- \tan (θ)$ 乘以 $1$ 。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.3

将 $\tan (θ)$ 乘以 $1$ 。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.5

通过指数相加将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

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解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.5.1

移动 $\tan (θ)$ 。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.1.5.2

将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

$2 + 1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.2

将 $- \tan (θ)$ 和 $\tan (θ)$ 相加。

$2 + 1 + 0 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.1.4.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 + 1 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.2.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 ((1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.1.1

运用分配律。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 (1 - \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.1.2

运用分配律。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) (1 - \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.1.3

运用分配律。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 \cdot 1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 1 (- \tan (θ)) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.2

将 $- \tan (θ)$ 乘以 $1$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) \cdot 1 + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.3

将 $\tan (θ)$ 乘以 $1$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) + \tan (θ) (- \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan (θ) \tan (θ))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.5

通过指数相加将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

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解题步骤 5.2.2.3.2.1.5.1

移动 $\tan (θ)$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - (\tan (θ) \tan (θ)))$

解题步骤 5.2.2.3.2.1.5.2

将 $\tan (θ)$ 乘以 $\tan (θ)$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan (θ) + \tan (θ) - \tan^{2} (θ))$

解题步骤 5.2.2.3.2.2

将 $- \tan (θ)$ 和 $\tan (θ)$ 相加。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 + 0 - \tan^{2} (θ))$

解题步骤 5.2.2.3.2.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0 (1 - \tan^{2} (θ))$

解题步骤 5.2.2.3.3

将 $0$ 乘以 $1 - \tan^{2} (θ)$ 。

$3 - \tan^{2} (θ) = 0$

解题步骤 5.2.3

求解方程。

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解题步骤 5.2.3.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- \tan^{2} (θ) = - 3$

解题步骤 5.2.3.2

将 $- \tan^{2} (θ) = - 3$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $- \tan^{2} (θ) = - 3$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan^{2} (θ)}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan^{2} (θ)}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

用 $\tan^{2} (θ)$ 除以 $1$ 。

$\tan^{2} (θ) = \frac{- 3}{- 1}$

解题步骤 5.2.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.2.3.1

用 $- 3$ 除以 $- 1$ 。

$\tan^{2} (θ) = 3$

解题步骤 5.2.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.2.3.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.3.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\tan (θ) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.4

建立每一个解以求解 $θ$ 。

$\tan (θ) = \sqrt{3}$

$\tan (θ) = - \sqrt{3}$

解题步骤 5.2.5

在 $\tan (θ) = \sqrt{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.5.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (\sqrt{3})$

解题步骤 5.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.5.2.1

$\arctan (\sqrt{3})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$θ = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$θ = π + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4

化简 $π + \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.5.4.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.5.4.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$θ = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.2.2

在公分母上合并分子。

$θ = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.5.4.3.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$θ = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

解题步骤 5.2.5.4.3.2

将 $3 π$ 和 $π$ 相加。

$θ = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 5.2.5.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.5.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.5.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.5.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.5.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.5.6

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.6

在 $\tan (θ) = - \sqrt{3}$ 中求解 $θ$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $θ$ 。

$θ = \arctan (- \sqrt{3})$

解题步骤 5.2.6.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.6.2.1

$\arctan (- \sqrt{3})$ 的准确值为 $- \frac{π}{3}$ 。

$θ = - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$θ = - \frac{π}{3} - π$

解题步骤 5.2.6.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.6.4.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{3} - π$ 。

$θ = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.6.4.2

得出的角 $\frac{2 π}{3}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{3} - π$ 共边。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.5

求 $\tan (θ)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.6.6

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.6.6.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{π}{3} + π$

解题步骤 5.2.6.6.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.6.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.6.4.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.4.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.6.5

列出新角。

$θ = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 5.2.6.7

$\tan (θ)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$θ = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.7

列出所有解。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8

合并解集。

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解题步骤 5.2.8.1

将 $\frac{π}{3} + π n$ 和 $\frac{4 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{π}{3} + π n$ 。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5.2.8.2

将 $\frac{2 π}{3} + π n$ 和 $\frac{2 π}{3} + π n$ 合并为 $\frac{2 π}{3} + π n$ 。

$θ = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $\tan (θ) (\frac{2}{(1 + \tan (θ)) (1 - \tan (θ))} + 1) = 0$ 成立的所有值。

$θ = π n, π + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$θ = \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

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