代数示例

$y^{4} = 2 - y^{2}$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $y^{2}$ 。

$y^{4} + y^{2} = 2$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y^{4} + y^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.1

将 $y^{4}$ 重写为 ${(y^{2})}^{2}$ 。

${(y^{2})}^{2} + y^{2} - 2 = 0$

解题步骤 3.2

使 $u = y^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $y^{2}$ 。

$u^{2} + u - 2 = 0$

解题步骤 3.3

使用 AC 法来对 $u^{2} + u - 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 2$ ，和为 $1$ 。

$- 1, 2$

解题步骤 3.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 1) (u + 2) = 0$

解题步骤 3.4

使用 $y^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(y^{2} - 1) (y^{2} + 2) = 0$

解题步骤 3.5

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(y^{2} - 1^{2}) (y^{2} + 2) = 0$

解题步骤 3.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = y$ 和 $b = 1$ 。

$(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$

解题步骤 4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y + 1 = 0$

$y - 1 = 0$

$y^{2} + 2 = 0$

解题步骤 5

将 $y + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 5.1

将 $y + 1$ 设为等于 $0$ 。

$y + 1 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 6

将 $y - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 6.1

将 $y - 1$ 设为等于 $0$ 。

$y - 1 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 7

将 $y^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 7.1

将 $y^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$y^{2} + 2 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $y$ 的 $y^{2} + 2 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y^{2} = - 2$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 7.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

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解题步骤 7.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 7.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$y = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 7.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$y = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 7.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 7.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$y = i \sqrt{2}$

解题步骤 7.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$y = - i \sqrt{2}$

解题步骤 7.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 8

最终解为使 $(y + 1) (y - 1) (y^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$y = - 1, 1, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

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