代数示例

$3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$

解题步骤 1

将 $u = x^{2}$ 代入方程。这将使得二次公式变得更容易使用。

$3 u^{2} - u + 6 = 0$

$u = x^{2}$

解题步骤 2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3

将 $a = 3$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 6$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 6)}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.3

从 $1$ 中减去 $72$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.4

将 $- 71$ 重写为 $- 1 (71)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (71)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 5.1

化简分子。

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解题步骤 5.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.3

从 $1$ 中减去 $72$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.4

将 $- 71$ 重写为 $- 1 (71)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (71)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 5.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 6

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 6.1

化简分子。

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解题步骤 6.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 3 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 3 \cdot 6$ 。

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解题步骤 6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 12 \cdot 6}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.2.2

将 $- 12$ 乘以 $6$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 72}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.3

从 $1$ 中减去 $72$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.4

将 $- 71$ 重写为 $- 1 (71)$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.5

将 $\sqrt{- 1 (71)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{2 \cdot 3}$

解题步骤 6.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 6.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$u = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 7

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}, \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 8

将 $u = x^{2}$ 的真实值代入回已解的方程中。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 9

求解 $x$ 的第一个方程。

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 10

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 10.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$

解题步骤 10.2

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ 。

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解题步骤 10.2.1

将 $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{71}}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 10.2.2

将 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 10.2.3

合并和化简分母。

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解题步骤 10.2.3.1

将 $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 10.2.3.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 10.2.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 10.2.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 10.2.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 10.2.3.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 10.2.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 10.2.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 10.2.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 10.2.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 10.2.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 10.2.4

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 10.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 10.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 10.3.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 10.3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 11

求解 $x$ 的第二个方程。

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 12

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 12.1

去掉圆括号。

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{71}}{6}$

解题步骤 12.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$

解题步骤 12.3

化简 $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ 。

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解题步骤 12.3.1

将 $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{71}}{6}}$ 重写为 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 12.3.2

将 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$

解题步骤 12.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 12.3.3.1

将 $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}}}{\sqrt{6}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{\sqrt{6} \sqrt{6}}$

解题步骤 12.3.3.2

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} \sqrt{6}}$

解题步骤 12.3.3.3

对 $\sqrt{6}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1} {\sqrt{6}}^{1}}$

解题步骤 12.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{1 + 1}}$

解题步骤 12.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{\sqrt{6}}^{2}}$

解题步骤 12.3.3.6

将 ${\sqrt{6}}^{2}$ 重写为 $6$ 。

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解题步骤 12.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{6}$ 重写成 $6^{\frac{1}{2}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{{(6^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 12.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 12.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.3.3.6.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 12.3.3.6.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6^{1}}$

解题步骤 12.3.3.6.5

计算指数。

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{71}} \sqrt{6}}{6}$

解题步骤 12.3.4

使用根数乘积法则进行合并。

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 12.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 12.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 12.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 12.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

解题步骤 13

$3 x^{4} - x^{2} + 6 = 0$ 的解是 $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$ 。

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{71}) \cdot 6}}{6}$

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