代数示例

$f (x) = | 2 x - 3 |$

解题步骤 1

将 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 写为等式。

$y = | 2 x - 3 |$

解题步骤 2

交换变量。

$x = | 2 y - 3 |$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $| 2 y - 3 | = x$ 。

$| 2 y - 3 | = x$

解题步骤 3.2

去掉绝对值项。因为 $| x | = \pm x$ ，所以这将使方程右边新增 $\pm$ 。

$2 y - 3 = \pm x$

解题步骤 3.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 3.3.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$2 y - 3 = x$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 y = x + 3$

解题步骤 3.3.3

将 $2 y = x + 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.3.1

将 $2 y = x + 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$2 y - 3 = - x$

解题步骤 3.3.5

在等式两边都加上 $3$ 。

$2 y = - x + 3$

解题步骤 3.3.6

将 $2 y = - x + 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $2 y = - x + 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.6.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 3.3.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

$y = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

$y = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ 是否为 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[0, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $\frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ 的定义域并不等于 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} + \frac{3}{2}, - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$ 并非 $f (x) = | 2 x - 3 |$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

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