代数示例

Use the long division method to find the result when $12 x^{3} + 25 x^{2} + 4 x - 1$ is divided by $3 x + 1$

解题步骤 1

以数学表达式书写该问题。

Use the long division method to find the result when $\frac{12 x^{3} + 25 x^{2} + 4 x - 1}{3 x + 1}$

解题步骤 2

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$25 x^{2}$

$4 x$

$1$

解题步骤 3

将被除数中的最高阶项 $12 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$

解题步骤 4

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

解题步骤 5

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $12 x^{3} + 4 x^{2}$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

解题步骤 6

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$

解题步骤 7

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 8

将被除数中的最高阶项 $21 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$

解题步骤 9

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$21 x^{2}$	+	$7 x$

解题步骤 10

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $21 x^{2} + 7 x$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$

解题步骤 11

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$

解题步骤 12

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 13

将被除数中的最高阶项 $- 3 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 14

将新的商式项乘以除数。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	-	$1$

解题步骤 15

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x - 1$ 中的所有符号

				$4 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$

解题步骤 16

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$4 x^{2}$	+	$7 x$	-	$1$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$25 x^{2}$	+	$4 x$	-	$1$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$21 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$21 x^{2}$	-	$7 x$
							-	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 17

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$4 x^{2} + 7 x - 1$

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