代数示例

$x^{4} + x^{3} - 51 x^{2} - 9 x + 378$

解题步骤 1

重新组合项。

$x^{3} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 2

从 $x^{3} - 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} - 9 x + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 2.2

从 $- 9 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{2} + x \cdot - 9 + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 2.3

从 $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{2} - 9) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x (x^{2} - 3^{2}) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 4

因数。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x ((x + 3) (x - 3)) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$x (x + 3) (x - 3) + x^{4} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x (x + 3) (x - 3) + {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 378$

解题步骤 6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (x + 3) (x - 3) + u^{2} - 51 u + 378$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $u^{2} - 51 u + 378$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $378$ ，和为 $- 51$ 。

$- 42, - 9$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$x (x + 3) (x - 3) + (u - 42) (u - 9)$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 9)$

解题步骤 9

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x^{2} - 3^{2})$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) ((x + 3) (x - 3))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

解题步骤 11

从 $x (x + 3) (x - 3) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 11.1

从 $x (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x) + (x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$

解题步骤 11.2

从 $(x^{2} - 42) (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$

解题步骤 11.3

从 $(x + 3) (x - 3) (x) + (x + 3) (x - 3) (x^{2} - 42)$ 中分解出因数 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$(x + 3) (x - 3) (x + x^{2} - 42)$

解题步骤 12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 3) (x - 3) (u + u^{2} - 42)$

解题步骤 13

使用 AC 法来对 $u + u^{2} - 42$ 进行因式分解。

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解题步骤 13.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 42$ ，和为 $1$ 。

$- 6, 7$

解题步骤 13.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) (x - 3) ((u - 6) (u + 7))$

解题步骤 14

因数。

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解题步骤 14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 3) (x - 3) ((x - 6) (x + 7))$

解题步骤 14.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 3) (x - 6) (x + 7)$

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