代数示例

$f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 写为等式。

$y = x + 2 \sqrt{x - 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = y + 2 \sqrt{y - 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $y + 2 \sqrt{y - 1} = x$ 。

$y + 2 \sqrt{y - 1} = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $y$ 。

$2 \sqrt{y - 1} = x - y$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{y - 1})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y - 1}$ 重写成 ${(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${(2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

对 $2 {(y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3

将 ${({(y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(y - 1)}^{1} = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.4

化简。

$4 (y - 1) = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.5

运用分配律。

$4 y + 4 \cdot - 1 = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y - 4 = {(x - y)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - y)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将 ${(x - y)}^{2}$ 重写为 $(x - y) (x - y)$ 。

$4 y - 4 = (x - y) (x - y)$

解题步骤 3.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - y) (x - y)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

运用分配律。

$4 y - 4 = x (x - y) - y (x - y)$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

运用分配律。

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y (x - y)$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

运用分配律。

$4 y - 4 = x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)$

解题步骤 3.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 y - 4 = x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - y (- y)$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.3

使用乘法的交换性质重写。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.4

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.4.1

移动 $y$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.6

将 $y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - y x + y^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.3.2

从 $- x y$ 中减去 $y x$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.3.2.1

移动 $y$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.3.2.2

从 $- x y$ 中减去 $x y$ 。

$4 y - 4 = x^{2} - 2 x y + y^{2}$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

因为 $y$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} = 4 y - 4$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $4 y$ 。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y = - 4$

解题步骤 3.5.3

在等式两边都加上 $4$ 。

$x^{2} - 2 x y + y^{2} - 4 y + 4 = 0$

解题步骤 3.5.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5.5

将 $a = 1$ 、 $b = - 2 x - 4$ 和 $c = x^{2} + 4$ 的值代入二次公式中并求解 $y$ 。

$\frac{- (- 2 x - 4) \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6

化简。

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解题步骤 3.5.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.6.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5

使 $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。

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解题步骤 3.5.6.1.5.1

将 ${(- 2 x - 4)}^{2}$ 重写为 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

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解题步骤 3.5.6.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.6.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.5.3.2

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6

从 $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.6.1.6.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.5

从 $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.6

从 $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.6.7

从 $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.7

使用 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8

化简。

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解题步骤 3.5.6.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.6.1.8.1.1

将 $x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.1.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.2

合并 $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.6.1.8.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.2.2

将 $4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.8.2.4

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.10

将 $16 x$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 3.5.6.1.10.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.11

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.7.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.7.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5

使 $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.5.1

将 ${(- 2 x - 4)}^{2}$ 重写为 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.7.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.5.3.2

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6

从 $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.6.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.5

从 $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.6

从 $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.6.7

从 $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.7

使用 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8

化简。

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解题步骤 3.5.7.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.7.1.8.1.1

将 $x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.1.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.2

合并 $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.7.1.8.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.2.2

将 $4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.8.2.4

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.10

将 $16 x$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 3.5.7.1.10.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.11

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$y = \frac{2 x + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7.4

约去 $2 x + 4 + 4 \sqrt{x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 4 + 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 + 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7.4.3

从 $2 (x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2) + 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.7.4.4

从 $4 \sqrt{x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})}{2}$

解题步骤 3.5.7.4.5

从 $2 (x + 2) + 2 (2 \sqrt{x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2}$

解题步骤 3.5.7.4.6

约去公因数。

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解题步骤 3.5.7.4.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

解题步骤 3.5.7.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (x + 2 + 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{x + 2 + 2 \sqrt{x}}{1}$

解题步骤 3.5.7.4.6.4

用 $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ 除以 $1$ 。

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

解题步骤 3.5.8

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 3.5.8.1

化简分子。

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解题步骤 3.5.8.1.1

运用分配律。

$y = \frac{- (- 2 x) + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (x^{2} + 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.4

添加圆括号。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(- 2 x - 4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5

使 $u = 1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.5.1

将 ${(- 2 x - 4)}^{2}$ 重写为 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{(- 2 x - 4) (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.2

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 x - 4) (- 2 x - 4)$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.5.2.1

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x - 4) - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x - 4) - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.2.3

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 x (- 2 x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.5.8.1.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x \cdot x) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 x^{2}) - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.3

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} - 2 x \cdot - 4 - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.4

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x - 4 (- 2 x) - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.5

将 $- 2$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x - 4 \cdot - 4 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.1.6

将 $- 4$ 乘以 $- 4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 8 x + 8 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.5.3.2

将 $8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 \cdot u}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6

从 $4 x^{2} + 16 x + 16 - 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.6.1

从 $4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 16 x + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.2

从 $16 x$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 16 - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.3

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) - 4 u}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.4

从 $- 4 u$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2}) + 4 (4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.5

从 $4 (x^{2}) + 4 (4 x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.6

从 $4 (x^{2} + 4 x) + 4 (4)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.6.7

从 $4 (x^{2} + 4 x + 4) + 4 (- u)$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - u)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.7

使用 $1 \cdot (x^{2} + 4)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (1 \cdot (x^{2} + 4)))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8

化简。

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解题步骤 3.5.8.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.8.1.8.1.1

将 $x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - (x^{2} + 4))}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.1.2

运用分配律。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.1.3

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.2

合并 $x^{2} + 4 x + 4 - x^{2} - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 3.5.8.1.8.2.1

从 $x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 + 0 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.2.2

将 $4 x + 4$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 4 - 4)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.2.3

从 $4$ 中减去 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x + 0)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.8.2.4

将 $4 x$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 (4 x)}}{2 \cdot 1}$

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4 \cdot (4 x)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.9

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{16 x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.10

将 $16 x$ 重写为 ${(2^{2})}^{2} x$ 。

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解题步骤 3.5.8.1.10.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{4^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.10.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.11

从根式下提出各项。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 2^{2} \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.1.12

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{2 x + 4 \pm 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.8.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$y = \frac{2 x + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.8.4

约去 $2 x + 4 - 4 \sqrt{x}$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.8.4.1

从 $2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 4 - 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.8.4.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x) + 2 \cdot 2 - 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.8.4.3

从 $2 (x) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2) - 4 \sqrt{x}}{2}$

解题步骤 3.5.8.4.4

从 $- 4 \sqrt{x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})}{2}$

解题步骤 3.5.8.4.5

从 $2 (x + 2) + 2 (- 2 \sqrt{x})$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2}$

解题步骤 3.5.8.4.6

约去公因数。

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解题步骤 3.5.8.4.6.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 (1)}$

解题步骤 3.5.8.4.6.2

约去公因数。

$y = \frac{2 (x + 2 - 2 \sqrt{x})}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.5.8.4.6.3

重写表达式。

$y = \frac{x + 2 - 2 \sqrt{x}}{1}$

解题步骤 3.5.8.4.6.4

用 $x + 2 - 2 \sqrt{x}$ 除以 $1$ 。

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

解题步骤 3.5.9

最终答案为两个解的组合。

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 + 2 \sqrt{x}$

$y = x + 2 - 2 \sqrt{x}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ 是否为 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 和 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 5.2

求 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 的值域。

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解题步骤 5.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[1, \infty)$

解题步骤 5.3

求 $x + 2 + 2 \sqrt{x}$ 的定义域。

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解题步骤 5.3.1

将 $\sqrt{x}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x \geq 0$

解题步骤 5.3.2

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[0, \infty)$

解题步骤 5.4

因为 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ 的定义域并不等于 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 的值域，所以 $f^{- 1} (x) = x + 2 + 2 \sqrt{x}, x + 2 - 2 \sqrt{x}$ 并非 $f (x) = x + 2 \sqrt{x - 1}$ 的反函数。

不存在反函数

解题步骤 6

代数 示例

代数示例