代数示例

$\cos (2 u) = \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u)$

解题步骤 1

将所有表达式移到等式左边。

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解题步骤 1.1

从等式两边同时减去 $\cos^{2} (u)$ 。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) = - \sin^{2} (u)$

解题步骤 1.2

在等式两边都加上 $\sin^{2} (u)$ 。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 2

使用 $1 - \cos^{2} (u)$ 替换 $\sin^{2} (u)$ 。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

解题步骤 3

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

解题步骤 4

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) (1 - \cos^{2} (u)) = - 1$

解题步骤 5

化简左边。

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解题步骤 5.1

使用勾股恒等式。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

解题步骤 6

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 6.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ 替换 $- 2 \sin^{2} (u)$ 。

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.3

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.3.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

解题步骤 6.5

化简左边。

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解题步骤 6.5.1

化简 $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ 。

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解题步骤 6.5.1.1

移动 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.5.1.2

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.6

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.7

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

解题步骤 6.8

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 6.8.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ 替换 $- 2 \sin^{2} (u)$ 。

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.3

化简每一项。

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解题步骤 6.8.3.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.3.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.4

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

解题步骤 6.8.5

化简左边。

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解题步骤 6.8.5.1

化简 $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ 。

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解题步骤 6.8.5.1.1

移动 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.5.1.2

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.6

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.7

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

解题步骤 6.8.8

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 6.8.8.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ 替换 $- 2 \sin^{2} (u)$ 。

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.3

化简每一项。

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解题步骤 6.8.8.3.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.3.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.4

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.5

化简左边。

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解题步骤 6.8.8.5.1

化简 $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ 。

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解题步骤 6.8.8.5.1.1

移动 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.5.1.2

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.6

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $1 - 2 \sin^{2} (x)$ 。

$1 - 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.7

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = - 1$

解题步骤 6.8.8.8

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 6.8.8.8.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 2 (1 - \cos^{2} (u))$ 替换 $- 2 \sin^{2} (u)$ 。

$- 2 (1 - \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.3

化简每一项。

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解题步骤 6.8.8.8.3.1

运用分配律。

$- 2 \cdot 1 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.3.2

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 (- \cos^{2} (u)) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$- 2 + 2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) + 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.4

将 $- 2$ 和 $1$ 相加。

$2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1 = 0$

解题步骤 6.8.8.8.5

化简左边。

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解题步骤 6.8.8.8.5.1

化简 $2 \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - 1$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.5.1.1

移动 $- 1$ 。

$2 \cos^{2} (u) - 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.5.1.2

使用余弦倍角公式。

$\cos (2 u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.6

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)$ 。

$\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7

化简左边。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1

化简 $\cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.1

移动 $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ 。

$\cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.2

乘以 $1$ 。

$\cos^{2} (u) \cdot 1 - \cos^{2} (u) \sin^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.3.1

从 $- \cos^{2} (u) \sin^{2} (u)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (u)$ 。

$\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.3.2

从 $\cos^{2} (u) \cdot 1 + \cos^{2} (u) (- 1 \sin^{2} (u))$ 中分解出因数 $\cos^{2} (u)$ 。

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - 1 \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.3.3

将 $- 1 \sin^{2} (u)$ 重写为 $- \sin^{2} (u)$ 。

$\cos^{2} (u) \cdot (1 - \sin^{2} (u)) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.4

使用勾股恒等式。

$\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.5

将 $\cos^{2} (u) \cdot \cos^{2} (u)$ 重写为 ${(\cos (u) \cos (u))}^{2}$ 。

${(\cos (u) \cos (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (u) \cos (u)$ 和 $b = \sin (u)$ 。

$(\cos (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.7

乘以 $\cos (u) \cos (u)$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.7.1

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.7.2

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$({\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.7.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.8

乘以 $\cos (u) \cos (u)$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.8.1

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.8.2

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{1} (u) \cos^{1} (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.8.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) ({\cos (u)}^{1 + 1} - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.8.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u))$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.9.1

运用分配律。

$\cos^{2} (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.9.2

运用分配律。

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.9.3

运用分配律。

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10

化简项。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.1

合并 $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \cos^{2} (u) (- \sin (u)) + \sin (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u))$ 中相反的项。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.1.1

按照 $\cos^{2} (u) (- \sin (u))$ 和 $\sin (u) \cos^{2} (u)$ 重新排列因数。

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) - \cos^{2} (u) \sin (u) + \cos^{2} (u) \sin (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.1.2

将 $- \cos^{2} (u) \sin (u)$ 和 $\cos^{2} (u) \sin (u)$ 相加。

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + 0 + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.1.3

将 $\cos^{2} (u) \cos^{2} (u)$ 和 $0$ 相加。

$\cos^{2} (u) \cos^{2} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2

化简每一项。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.1

通过指数相加将 $\cos^{2} (u)$ 乘以 $\cos^{2} (u)$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

${\cos (u)}^{2 + 2} + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\cos^{4} (u) + \sin (u) (- \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.2

使用乘法的交换性质重写。

$\cos^{4} (u) - \sin (u) \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.3

乘以 $- \sin (u) \sin (u)$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.3.1

对 $\sin (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.3.2

对 $\sin (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\cos^{4} (u) - (\sin^{1} (u) \sin^{1} (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\cos^{4} (u) - {\sin (u)}^{1 + 1} = 0$

解题步骤 6.8.8.8.7.1.10.2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8

求解 $u$ 的方程。

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解题步骤 6.8.8.8.8.1

使用 $1 - \cos^{2} (u)$ 替换 $\sin^{2} (u)$ 。

$\cos^{4} (u) - (1 - \cos^{2} (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.1

使用勾股恒等式。

$\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.2

对 $\cos^{4} (u) - \sin^{2} (u)$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.2.1

将 $\cos^{4} (u)$ 重写为 ${(\cos^{2} (u))}^{2}$ 。

${(\cos^{2} (u))}^{2} - \sin^{2} (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos^{2} (u)$ 和 $b = \sin (u)$ 。

$(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4

将 $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.1

将 $\cos^{2} (u) + \sin (u)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2

求解 $u$ 的 $\cos^{2} (u) + \sin (u) = 0$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.1

使用 $1 - \sin^{2} (u)$ 替换 $\cos^{2} (u)$ 。

$(1 - \sin^{2} (u)) + \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.1

代入 $u$ 替换 $\sin (u)$ 。

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.3

将 $a = - 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4

化简。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.4.3

化简 $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.6

代入 $\sin (u)$ 替换 $u$ 。

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.7

建立每一个解以求解 $u$ 。

$\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8

在 $\sin (u) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.8.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9

在 $\sin (u) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $u$ 。

$u = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2

化简右边。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.2.1

计算 $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$u = - 0.66623943$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.1

去掉圆括号。

$u = 3.14159265 + 0.66623943$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.2

去掉圆括号。

$u = (3.14159265) + 0.66623943$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.4.3

将 $3.14159265$ 和 $0.66623943$ 相加。

$u = 3.80783208$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5

求 $\sin (u)$ 的周期。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.1

将 $2 π$ 加到 $- 0.66623943$ 以求正角。

$- 0.66623943 + 2 π$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.2

从 $2 π$ 中减去 $0.66623943$ 。

$5.61694587$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.6.3

列出新角。

$u = 5.61694587$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.9.7

$\sin (u)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.4.2.2.10

列出所有解。

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5

将 $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.1

将 $\cos^{2} (u) - \sin (u)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2

求解 $u$ 的 $\cos^{2} (u) - \sin (u) = 0$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.1

使用 $1 - \sin^{2} (u)$ 替换 $\cos^{2} (u)$ 。

$(1 - \sin^{2} (u)) - \sin (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2

求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.1

代入 $u$ 替换 $\sin (u)$ 。

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.3

将 $a = - 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4

化简。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.4.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.5

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.6

代入 $\sin (u)$ 替换 $u$ 。

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.7

建立每一个解以求解 $u$ 。

$\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8

在 $\sin (u) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.8.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9

在 $\sin (u) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $u$ 。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $u$ 。

$u = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2

化简右边。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$u = 0.66623943$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.1

从 $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$u = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.4.2

得出的角 $2.47535322$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ 共边。

$u = 2.47535322$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5

求 $\sin (u)$ 的周期。

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解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.9.6

$\sin (u)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.5.2.2.10

列出所有解。

$u = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6.8.8.8.8.2.6

最终解为使 $(\cos^{2} (u) + \sin (u)) (\cos^{2} (u) - \sin (u)) = 0$ 成立的所有值。

$u = 3.80783208 + 2 π n, 5.61694587 + 2 π n, 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

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解题步骤 7.1

将 $3.80783208 + 2 π n$ 和 $0.66623943 + 2 π n$ 合并为 $0.66623943 + π n$ 。

$u = 0.66623943 + π n, 5.61694587 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7.2

将 $5.61694587 + 2 π n$ 和 $2.47535322 + 2 π n$ 合并为 $2.47535322 + π n$ 。

$u = 0.66623943 + π n, 2.47535322 + π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

代数示例