代数示例

$f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ 写为等式。

$y = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}} = x$ 。

$4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根号，请将方程两边同时取 $5$ 次幂。

${(4 \sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{\frac{y^{7}}{7}}$ 重写成 ${(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}}$ 。

${(4 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${(4 {(\frac{y^{7}}{7})}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

应用指数的基本规则。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

对 $\frac{y^{7}}{7}$ 运用乘积法则。

${(4 \frac{{(y^{7})}^{\frac{1}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

将 ${(y^{7})}^{\frac{1}{5}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(4 \frac{y^{7 (\frac{1}{5})}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

组合 $7$ 和 $\frac{1}{5}$ 。

${(4 \frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ 。

${(\frac{4 y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}})}^{5} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.3

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 3.3.2.1.3.1

对 $\frac{4 y^{\frac{7}{5}}}{7^{\frac{1}{5}}}$ 运用乘积法则。

$\frac{{(4 y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.3.2

对 $4 y^{\frac{7}{5}}$ 运用乘积法则。

$\frac{4^{5} {(y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.4

化简分子。

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解题步骤 3.3.2.1.4.1

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{1024 {(y^{\frac{7}{5}})}^{5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2

将 ${(y^{\frac{7}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.4.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1024 y^{\frac{7}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{1024 y^{\frac{7}{5} \cdot 5}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.4.2.2.2

重写表达式。

$\frac{1024 y^{7}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.5

化简分母。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1

将 ${(7^{\frac{1}{5}})}^{5}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1024 y^{7}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.5.1.2

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.5.1.2.1

约去公因数。

$\frac{1024 y^{7}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.5.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1024 y^{7}}{7^{1}} = x^{5}$

解题步骤 3.3.2.1.5.2

计算指数。

$\frac{1024 y^{7}}{7} = x^{5}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

等式两边同时乘以 $\frac{7}{1024}$ 。

$\frac{7}{1024} \cdot \frac{1024 y^{7}}{7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1.1

化简 $\frac{7}{1024} \cdot \frac{1024 y^{7}}{7}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

合并。

$\frac{7 (1024 y^{7})}{1024 \cdot 7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

$\frac{7 (1024 y^{7})}{1024 \cdot 7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

$\frac{1024 y^{7}}{1024} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3

约去 $1024$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.3.1

约去公因数。

$\frac{1024 y^{7}}{1024} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2.1.1.3.2

用 $y^{7}$ 除以 $1$ 。

$y^{7} = \frac{7}{1024} x^{5}$

解题步骤 3.4.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

组合 $\frac{7}{1024}$ 和 $x^{5}$ 。

$y^{7} = \frac{7 x^{5}}{1024}$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{1024}}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{1024}}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $\frac{7 x^{5}}{1024}$ 重写为 ${(\frac{1}{2})}^{7} \frac{7 x^{5}}{8}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1.1

从 $7 x^{5}$ 中因式分解出完全幂数 $1^{7}$ 。

$y = \sqrt[7]{\frac{1^{7} (7 x^{5})}{1024}}$

解题步骤 3.4.4.1.2

从 $1024$ 中因式分解出完全幂数 $2^{7}$ 。

$y = \sqrt[7]{\frac{1^{7} (7 x^{5})}{2^{7} \cdot 8}}$

解题步骤 3.4.4.1.3

重新整理分数 $\frac{1^{7} (7 x^{5})}{2^{7} \cdot 8}$ 。

$y = \sqrt[7]{{(\frac{1}{2})}^{7} \frac{7 x^{5}}{8}}$

解题步骤 3.4.4.2

从根式下提出各项。

$y = \frac{1}{2} \sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{8}}$

解题步骤 3.4.4.3

将 $\sqrt[7]{\frac{7 x^{5}}{8}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{\sqrt[7]{8}}$ 。

$y = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{\sqrt[7]{8}}$

解题步骤 3.4.4.4

合并。

$y = \frac{1 \sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\sqrt[7]{7 x^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$

解题步骤 3.4.4.6

将 $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}} \cdot \frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$

解题步骤 3.4.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[7]{7 x^{5}}}{2 \sqrt[7]{8}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[7]{8}}^{6}}{{\sqrt[7]{8}}^{6}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \sqrt[7]{8} {\sqrt[7]{8}}^{6}}$

解题步骤 3.4.4.7.2

移动 $\sqrt[7]{8}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 (\sqrt[7]{8} {\sqrt[7]{8}}^{6})}$

解题步骤 3.4.4.7.3

对 $\sqrt[7]{8}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 ({\sqrt[7]{8}}^{1} {\sqrt[7]{8}}^{6})}$

解题步骤 3.4.4.7.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{8}}^{1 + 6}}$

解题步骤 3.4.4.7.5

将 $1$ 和 $6$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {\sqrt[7]{8}}^{7}}$

解题步骤 3.4.4.7.6

将 ${\sqrt[7]{8}}^{7}$ 重写为 $8$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{8}$ 重写成 $8^{\frac{1}{7}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 {(8^{\frac{1}{7}})}^{7}}$

解题步骤 3.4.4.7.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{1}{7} \cdot 7}}$

解题步骤 3.4.4.7.6.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{7}{7}}}$

解题步骤 3.4.4.7.6.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.7.6.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{\frac{7}{7}}}$

解题步骤 3.4.4.7.6.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8^{1}}$

解题步骤 3.4.4.7.6.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} {\sqrt[7]{8}}^{6}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.8.1

将 ${\sqrt[7]{8}}^{6}$ 重写为 $\sqrt[7]{8^{6}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{8^{6}}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.2

对 $8$ 进行 $6$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{262144}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.3

将 $262144$ 重写为 $4^{7} \cdot 16$ 。

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解题步骤 3.4.4.8.3.1

从 $262144$ 中分解出因数 $16384$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{16384 (16)}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.3.2

将 $16384$ 重写为 $4^{7}$ 。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \sqrt[7]{4^{7} \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.4

从根式下提出各项。

$y = \frac{\sqrt[7]{7 x^{5}} \cdot 4 \sqrt[7]{16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.5

合并指数。

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解题步骤 3.4.4.8.5.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{4 \sqrt[7]{7 x^{5} \cdot 16}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.8.5.2

将 $16$ 乘以 $7$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{2 \cdot 8}$

解题步骤 3.4.4.9

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.4.4.9.1

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{16}$

解题步骤 3.4.4.9.2

约去 $4$ 和 $16$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.9.2.1

从 $4 \sqrt[7]{112 x^{5}}$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 (\sqrt[7]{112 x^{5}})}{16}$

解题步骤 3.4.4.9.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.4.4.9.2.2.1

从 $16$ 中分解出因数 $4$ 。

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.4.4.9.2.2.2

约去公因数。

$y = \frac{4 \sqrt[7]{112 x^{5}}}{4 \cdot 4}$

解题步骤 3.4.4.9.2.2.3

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ 是否为 $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}})$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 {(4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}})}^{5}}}{4}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (4^{5} {\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.2

对 $4$ 进行 $5$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.3

将 $\sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[5]{x^{7}}}{\sqrt[5]{7}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{\sqrt[5]{x^{7}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.4.1

因式分解出 $x^{5}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{\sqrt[5]{x^{5} x^{2}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.4.2

从根式下提出各项。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6

合并和化简分母。

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解题步骤 5.2.3.6.1

将 $\frac{x \sqrt[5]{x^{2}}}{\sqrt[5]{7}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{4}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.2

对 $\sqrt[5]{7}$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{\sqrt[5]{7} {\sqrt[5]{7}}^{4}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{1 + 4}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{\sqrt[5]{7}}^{5}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5

将 ${\sqrt[5]{7}}^{5}$ 重写为 $7$ 。

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解题步骤 5.2.3.6.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{7}$ 重写成 $7^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{{(7^{\frac{1}{5}})}^{5}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{1}{5} \cdot 5}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{5}{5}}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.6.5.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7^{\frac{5}{5}}})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.6.5.5

计算指数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} {\sqrt[5]{7}}^{4}}{7})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.7

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.7.1

将 ${\sqrt[5]{7}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{7^{4}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} \sqrt[5]{7^{4}}}{7})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.7.2

对 $7$ 进行 $4$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{x^{2}} \sqrt[5]{2401}}{7})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.7.3

使用根数乘积法则进行合并。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 {(\frac{x \sqrt[5]{2401 x^{2}}}{7})}^{5})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.8

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 5.2.3.8.1

对 $\frac{x \sqrt[5]{2401 x^{2}}}{7}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{{(x \sqrt[5]{2401 x^{2}})}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.8.2

对 $x \sqrt[5]{2401 x^{2}}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {\sqrt[5]{2401 x^{2}}}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.9.1

将 ${\sqrt[5]{2401 x^{2}}}^{5}$ 重写为 $2401 x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.9.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{2401 x^{2}}$ 重写成 ${(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {({(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.9.1.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} {(2401 x^{2})}^{\frac{5}{5}}}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.1.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.1.5

化简。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{5} \cdot (2401 x^{2})}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.2

通过指数相加将 $x^{5}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.9.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{2} x^{5} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{2 + 5} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.9.2.3

将 $2$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7} \cdot 2401}{7^{5}}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.10

对 $7$ 进行 $5$ 次方运算。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7} \cdot 2401}{16807}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.11

约去 $2401$ 和 $16807$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.11.1

从 $x^{7} \cdot 2401$ 中分解出因数 $2401$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{16807}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.11.2

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.11.2.1

从 $16807$ 中分解出因数 $2401$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{2401 \cdot 7}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.11.2.2

约去公因数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{2401 \cdot x^{7}}{2401 \cdot 7}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.11.2.3

重写表达式。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{112 \cdot (1024 (\frac{x^{7}}{7}))}}{4}$

解题步骤 5.2.3.12

合并指数。

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解题步骤 5.2.3.12.1

将 $112$ 乘以 $1024$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{114688 (\frac{x^{7}}{7})}}{4}$

解题步骤 5.2.3.12.2

组合 $114688$ 和 $\frac{x^{7}}{7}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{114688 x^{7}}{7}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.13

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.2.3.13.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{114688 x^{7}}{7}$ 。

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解题步骤 5.2.3.13.1.1

从 $114688 x^{7}$ 中分解出因数 $7$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.13.1.2

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7 (1)}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.13.1.3

约去公因数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{7 (16384 x^{7})}{7 \cdot 1}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.13.1.4

重写表达式。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{\frac{16384 x^{7}}{1}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.13.2

用 $16384 x^{7}$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{16384 x^{7}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.14

将 $16384 x^{7}$ 重写为 ${(4 x)}^{7}$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{\sqrt[7]{{(4 x)}^{7}}}{4}$

解题步骤 5.2.3.15

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = \frac{4 x}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4})$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4})}^{7}}{7}}$

解题步骤 5.3.3

对 $\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7}}}{7}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7}} \cdot \frac{1}{7}}$

解题步骤 5.3.5

合并。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7} \cdot 1}{4^{7} \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.6

化简表达式。

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解题步骤 5.3.6.1

将 ${\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{4^{7} \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.6.2

对 $4$ 进行 $7$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7

将 ${\sqrt[7]{112 x^{5}}}^{7}$ 重写为 $112 x^{5}$ 。

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解题步骤 5.3.7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[7]{112 x^{5}}$ 重写成 ${(112 x^{5})}^{\frac{1}{7}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{({(112 x^{5})}^{\frac{1}{7}})}^{7}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{1}{7} \cdot 7}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7.3

组合 $\frac{1}{7}$ 和 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{7}{7}}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7.4

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.7.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{{(112 x^{5})}^{\frac{7}{7}}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.7.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{16384 \cdot 7}}$

解题步骤 5.3.8

将 $16384$ 乘以 $7$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{114688}}$

解题步骤 5.3.9

约去 $112$ 和 $114688$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

从 $112 x^{5}$ 中分解出因数 $112$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 (x^{5})}{114688}}$

解题步骤 5.3.9.2

约去公因数。

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解题步骤 5.3.9.2.1

从 $114688$ 中分解出因数 $112$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{112 \cdot 1024}}$

解题步骤 5.3.9.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{112 x^{5}}{112 \cdot 1024}}$

解题步骤 5.3.9.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1024}}$

解题步骤 5.3.10

将 $1024$ 重写为 $4^{5}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{4^{5}}}$

解题步骤 5.3.11

将 $\frac{x^{5}}{4^{5}}$ 重写为 ${(\frac{x}{4})}^{5}$ 。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 \sqrt[5]{{(\frac{x}{4})}^{5}}$

解题步骤 5.3.12

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 5.3.13

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.13.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = 4 (\frac{x}{4})$

解题步骤 5.3.13.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$ 为 $f (x) = 4 \sqrt[5]{\frac{x^{7}}{7}}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[7]{112 x^{5}}}{4}$

代数 示例

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