代数示例

$f (x) = - \sqrt{x + 2}$ ; for $x \geq - 2$

解题步骤 1

求给定函数的值域。

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解题步骤 1.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

$(- \infty, 0]$

解题步骤 1.2

将 $(- \infty, 0]$ 转换为不等式。

$y \leq 0$

$y \leq 0$

解题步骤 2

求反函数。

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解题步骤 2.1

交换变量。

$x = - \sqrt{y + 2}$

解题步骤 2.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.2.1

将方程重写为 $- \sqrt{y + 2} = x$ 。

$- \sqrt{y + 2} = x$

解题步骤 2.2.2

将 $- \sqrt{y + 2} = x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $- \sqrt{y + 2} = x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{y + 2}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sqrt{y + 2}}{1} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.2.2

用 $\sqrt{y + 2}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

$\sqrt{y + 2} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 2.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.2.3.1

移动 $\frac{x}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sqrt{y + 2} = - 1 \cdot x$

解题步骤 2.2.2.3.2

将 $- 1 \cdot x$ 重写为 $- x$ 。

$\sqrt{y + 2} = - x$

$\sqrt{y + 2} = - x$

$\sqrt{y + 2} = - x$

解题步骤 2.2.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y + 2}}^{2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4

化简方程的两边。

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解题步骤 2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 2}$ 重写成 ${(y + 2)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.4.2.1

化简 ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.4.2.1.1

将 ${({(y + 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y + 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

${(y + 2)}^{1} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4.2.1.2

化简。

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

$y + 2 = {(- x)}^{2}$

解题步骤 2.2.4.3

化简右边。

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解题步骤 2.2.4.3.1

化简 ${(- x)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.4.3.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y + 2 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

解题步骤 2.2.4.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y + 2 = 1 x^{2}$

解题步骤 2.2.4.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + 2 = x^{2}$

$y + 2 = x^{2}$

$y + 2 = x^{2}$

$y + 2 = x^{2}$

解题步骤 2.2.5

从等式两边同时减去 $2$ 。

$y = x^{2} - 2$

$y = x^{2} - 2$

解题步骤 2.3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2$

解题步骤 3

利用原函数的定义域和值域求反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 2, x \leq 0$

解题步骤 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$