代数示例

$f (x) = \frac{g (x)}{2 x^{2} - 32}$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

将所有包含变量的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1.1

从等式两边同时减去 $\frac{g (x)}{2 x^{2} - 32}$ 。

$y - \frac{g (x)}{2 x^{2} - 32} = 0$

解题步骤 1.1.2

化简分母。

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解题步骤 1.1.2.1

从 $2 x^{2} - 32$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.2.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{g x}{2 (x^{2}) - 32} = 0$

解题步骤 1.1.2.1.2

从 $- 32$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{g x}{2 x^{2} + 2 \cdot - 16} = 0$

解题步骤 1.1.2.1.3

从 $2 x^{2} + 2 \cdot - 16$ 中分解出因数 $2$ 。

$y - \frac{g x}{2 (x^{2} - 16)} = 0$

解题步骤 1.1.2.2

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$y - \frac{g x}{2 (x^{2} - 4^{2})} = 0$

解题步骤 1.1.2.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$y - \frac{g x}{2 (x + 4) (x - 4)} = 0$

解题步骤 1.1.3

将 $y$ 和 $- \frac{g x}{2 (x + 4) (x - 4)}$ 重新排序。

$- \frac{g x}{2 (x + 4) (x - 4)} + y = 0$

解题步骤 1.2

将每一项除以 $0$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{\frac{g x}{2 (x + 4) (x - 4)}}{0} + \frac{y}{0} = \frac{0}{0}$

解题步骤 1.3

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$y - g x = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线顶点和渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 1$

$b = 1$

$k = 0$

$h = 0$

解题步骤 4

双曲线的中心符合 $(h, k)$ 的形式。代入 $h$ 和 $k$ 的值。

$(0, 0)$

解题步骤 5

求处 $c$ ，即从中点到焦点的距离。

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解题步骤 5.1

使用以下公式求从双曲线中心到焦点的距离。

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

解题步骤 5.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

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解题步骤 5.3.1

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 5.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1}$

解题步骤 5.3.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{2}$

解题步骤 6

求顶点。

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解题步骤 6.1

双曲线的第一个顶点可通过 $h$ 加上 $a$ 求得。

$(h + a, k)$

解题步骤 6.2

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(1, 0)$

解题步骤 6.3

双曲线的第二个顶点可通过从 $h$ 中减去 $a$ 求得。

$(h - a, k)$

解题步骤 6.4

将 $h$ 、 $a$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- 1, 0)$

解题步骤 6.5

双曲线的顶点符合 $(h \pm a, k)$ 的形式。双曲线有两个顶点。

$(1, 0), (- 1, 0)$

解题步骤 7

求焦点。

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解题步骤 7.1

双曲线的第一个焦点可通过 $c$ 加上 $h$ 求得。

$(h + c, k)$

解题步骤 7.2

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(\sqrt{2}, 0)$

解题步骤 7.3

双曲线的第二个焦点可通过从 $h$ 中减去 $c$ 求得。

$(h - c, k)$

解题步骤 7.4

将 $h$ 、 $c$ 和 $k$ 的已知值代入公式并化简。

$(- \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 7.5

双曲线的焦点遵循 $(h \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}, k)$ 的形式。双曲线有两个焦点。

$(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

解题步骤 8

求离心率。

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解题步骤 8.1

用下面的公式求离心率。

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

解题步骤 8.2

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式。

$\frac{\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}}{1}$

解题步骤 8.3

化简。

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解题步骤 8.3.1

用 $\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{{(1)}^{2} + {(1)}^{2}}$

解题步骤 8.3.2

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + {(1)}^{2}}$

解题步骤 8.3.3

一的任意次幂都为一。

$\sqrt{1 + 1}$

解题步骤 8.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\sqrt{2}$

解题步骤 9

求焦点参数。

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解题步骤 9.1

通过使用下面的公式求双曲线焦点参数的值。

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

解题步骤 9.2

将 $b$ 和 $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ 的值代入公式。

$\frac{1^{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

一的任意次幂都为一。

$\frac{1}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.2

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3

合并和化简分母。

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解题步骤 9.3.3.1

将 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.2

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

解题步骤 9.3.3.3

对 $\sqrt{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

解题步骤 9.3.3.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

解题步骤 9.3.3.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6

将 ${\sqrt{2}}^{2}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 9.3.3.6.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 9.3.3.6.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 9.3.3.6.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.6.4.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 9.3.3.6.4.2

重写表达式。

$\frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

解题步骤 9.3.3.6.5

计算指数。

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm 1 \cdot x + 0$

解题步骤 11

化简 $1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 11.1

将 $1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = 1 \cdot x$

解题步骤 11.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$y = x$

解题步骤 12

化简 $- 1 \cdot x + 0$ 。

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解题步骤 12.1

将 $- 1 \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$y = - 1 \cdot x$

解题步骤 12.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$y = - x$

解题步骤 13

该双曲线有两条渐近线。

$y = x, y = - x$

解题步骤 14

这些值代表的是绘制和分析双曲线时的重要数值。

中心点： $(0, 0)$

顶点： $(1, 0), (- 1, 0)$

焦点： $(\sqrt{2}, 0), (- \sqrt{2}, 0)$

离心率： $\sqrt{2}$

焦点参数： $\frac{\sqrt{2}}{2}$

渐近线： $y = x$ ， $y = - x$

解题步骤 15

代数 示例

代数示例