代数示例

$x^{8} - 25 x^{4} + 144 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

${(x^{4})}^{2} - 25 x^{4} + 144 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$u^{2} - 25 u + 144 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 25 u + 144$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $144$ ，和为 $- 25$ 。

$- 16, - 9$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u - 9) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{4} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 16) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 6

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 4^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 8

化简。

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解题步骤 8.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 8.2

因数。

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解题步骤 8.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 8.2.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{4} - 9) = 0$

解题步骤 9

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 9) = 0$

解题步骤 10

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ({(x^{2})}^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 11

因数。

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解题步骤 11.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 3$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) ((x^{2} + 3) (x^{2} - 3)) = 0$

解题步骤 11.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) (x^{2} - 3) = 0$

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