代数示例

$\frac{\tan (\frac{5 π}{8}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

$\tan (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 1.1.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{\tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.2

使用正切半角公式。

$\frac{\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 1.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.11.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.11.2

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.15

化简。

$\frac{- \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.16

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.17.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.17.2

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.19.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 1.1.4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.4.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.4.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.1.4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{3 π}{8})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2

$\tan (\frac{3 π}{8})$ 的准确值为 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{3 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.2

使用正切半角公式。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.3

将 $\pm$ 更改为 $+$ ，因为正切在第一象限是正的。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 1.2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.11.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.11.2

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.15

化简。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.16

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.17.1

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.17.2

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.19.1

运用分配律。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 1.2.4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 1.2.4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.4.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.4.3

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.2.4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 1.3

从 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 中减去 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{5 π}{8}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2

化简分母。

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解题步骤 2.1

$\tan (\frac{5 π}{8})$ 的准确值为 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 2.1.1

将 $\frac{5 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + \tan (\frac{\frac{5 π}{4}}{2}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.2

使用正切半角公式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 + (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}) \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.3

Change the $\pm$ to $-$ because tangent is negative in the second quadrant.

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4

化简 $- \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{5 π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 2.1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.1.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{5 π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.11.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.11.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.15

化简。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.16

运用分配律。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.17.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.17.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.19.1

运用分配律。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 2.1.4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 2.1.4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.2

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.3

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.1.4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{3 π}{8})}$

解题步骤 2.2

$\tan (\frac{3 π}{8})$ 的准确值为 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{3 π}{8}$ 重写为六个三角函数的值除以 $2$ 的角。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \tan (\frac{\frac{3 π}{4}}{2})}$

解题步骤 2.2.2

使用正切半角公式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}})}$

解题步骤 2.2.3

将 $\pm$ 更改为 $+$ ，因为正切在第一象限是正的。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4

化简 $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{3 π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}$ 。

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解题步骤 2.2.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 - - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.3

乘以 $- - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

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解题步骤 2.2.4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + 1 \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.3.2

将 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.4

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{3 π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \cos (\frac{π}{4})}}}$

解题步骤 2.2.4.7

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.8

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.10

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.11

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.11.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.11.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{1}{2 - \sqrt{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.12

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) (\frac{1}{2 - \sqrt{2}} \cdot \frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}})}}$

解题步骤 2.2.4.13

将 $\frac{1}{2 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{(2 - \sqrt{2}) (2 + \sqrt{2})}}}$

解题步骤 2.2.4.14

使用 FOIL 方法来展开分母。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{4 + 2 \sqrt{2} - 2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}}}$

解题步骤 2.2.4.15

化简。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{(2 + \sqrt{2}) \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.16

运用分配律。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.17

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.17.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 \frac{2 + \sqrt{2}}{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.17.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} \frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.18

组合 $\sqrt{2}$ 和 $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} (2 + \sqrt{2})}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.19.1

运用分配律。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} \cdot 2 + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.2

将 $2$ 移到 $\sqrt{2}$ 的左侧。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.3

使用根数乘积法则进行合并。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \cdot \sqrt{2} + \sqrt{2 \cdot 2}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.4

化简每一项。

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解题步骤 2.2.4.19.4.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{4}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + \sqrt{2^{2}}}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.4.3

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 \sqrt{2} + 2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5

约去 $2 \sqrt{2} + 2$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.19.5.1

从 $2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot 1}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.3

从 $2 (\sqrt{2}) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.4

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.19.5.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 (1)}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.4.2

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{2 (\sqrt{2} + 1)}{2 \cdot 1}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.4.3

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \frac{\sqrt{2} + 1}{1}}}$

解题步骤 2.2.4.19.5.4.4

用 $\sqrt{2} + 1$ 除以 $1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} + 1}}$

解题步骤 2.2.4.20

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + \sqrt{2} + \sqrt{2}}}$

解题步骤 2.2.4.21

将 $\sqrt{2}$ 和 $\sqrt{2}$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}$

解题步骤 2.3

乘以 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 2.3.1

对 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}$

解题步骤 2.3.2

对 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - ({\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1} {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1})}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{1 + 1}}$

解题步骤 2.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}}$

解题步骤 2.4

将 ${\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}^{2}$ 重写为 $3 + 2 \sqrt{2}$ 。

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解题步骤 2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 重写成 ${(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {({(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{\frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - {(3 + 2 \sqrt{2})}^{1}}$

解题步骤 2.4.5

化简。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - (3 + 2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.5

运用分配律。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.6

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - (2 \sqrt{2})}$

解题步骤 2.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{1 - 3 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 2.8

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$\frac{- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 3.1

约去 $- 2$ 和 $- 2 - 2 \sqrt{2}$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.1

从 $- 2 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{- 2 - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 3.1.2.1

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) - 2 \sqrt{2}}$

解题步骤 3.1.2.2

从 $- 2 \sqrt{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})}$

解题步骤 3.1.2.3

从 $2 (- 1) + 2 (- \sqrt{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

解题步骤 3.1.2.4

约去公因数。

$\frac{2 (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}})}{2 (- 1 - \sqrt{2})}$

解题步骤 3.1.2.5

重写表达式。

$\frac{- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

解题步骤 3.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$

解题步骤 4

将 $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ 。

$- (\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}} \cdot \frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}})$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

将 $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}}{- 1 - \sqrt{2}}$ 乘以 $\frac{- 1 + \sqrt{2}}{- 1 + \sqrt{2}}$ 。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{(- 1 - \sqrt{2}) (- 1 + \sqrt{2})}$

解题步骤 5.2

使用 FOIL 方法来展开分母。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{1 - \sqrt{2} + \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}$

解题步骤 5.3

化简。

$- \frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$

解题步骤 5.4

化简表达式。

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解题步骤 5.4.1

移动 $\frac{\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})}{- 1}$ 中分母的负号。

$- (- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2})))$

解题步骤 5.4.2

将 $- 1 \cdot (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ 重写为 $- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$ 。

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} (- 1 + \sqrt{2}))$

解题步骤 5.5

运用分配律。

$- - (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \cdot - 1 + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

解题步骤 5.6

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 的左侧。

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} \sqrt{2})$

解题步骤 5.7

使用根数乘积法则进行合并。

$- - (- 1 \cdot \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

解题步骤 6

将 $- 1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 重写为 $- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

$- - (- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

解题步骤 7

运用分配律。

$- (- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

解题步骤 8

乘以 $- - \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 。

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解题步骤 8.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (1 \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

解题步骤 8.2

将 $\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}}$ 乘以 $1$ 。

$- (\sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2})$

解题步骤 9

运用分配律。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} - - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

解题步骤 10

乘以 $- - \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ 。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + 1 \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

解题步骤 10.2

将 $\sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$ 乘以 $1$ 。

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

解题步骤 11

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \sqrt{3 + 2 \sqrt{2}} + \sqrt{(3 + 2 \sqrt{2}) \cdot 2}$

小数形式：

$1$

代数 示例

代数示例