代数示例

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} = 120 x^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $120 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2

从 $5 x^{\frac{5}{2}} - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

从 $5 x^{\frac{5}{2}}$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) - 10 x^{\frac{3}{2}} - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.2

从 $- 10 x^{\frac{3}{2}}$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) - 120 x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 2.3

从 $- 120 x^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

解题步骤 2.4

从 $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 2 x^{\frac{2}{2}})$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24) = 0$

解题步骤 2.5

从 $5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}}) + 5 x^{\frac{1}{2}} (- 24)$ 中分解出因数 $5 x^{\frac{1}{2}}$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24) = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $x^{\frac{4}{2}} - 2 x^{\frac{2}{2}} - 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 24$ ，和为 $- 2$ 。

$- 6, 4$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x^{\frac{2}{2}} - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

解题步骤 4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x^{\frac{2}{2}} + 4)) = 0$

解题步骤 5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$5 x^{\frac{1}{2}} ((x - 6) (x + 4)) = 0$

解题步骤 6

去掉多余的括号。

$5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 8

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $x^{\frac{1}{2}}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{\frac{1}{2}} = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $x^{\frac{1}{2}} = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

将方程两边同时进行 $2$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

解题步骤 8.2.2

化简指数。

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解题步骤 8.2.2.1

化简左边。

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解题步骤 8.2.2.1.1

化简 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1

将 ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 8.2.2.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.2.2.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

解题步骤 8.2.2.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{1} = 0^{2}$

解题步骤 8.2.2.1.1.2

化简。

$x = 0^{2}$

解题步骤 8.2.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 9

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $x - 6$ 设为等于 $0$ 。

$x - 6 = 0$

解题步骤 9.2

在等式两边都加上 $6$ 。

$x = 6$

解题步骤 10

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 11

最终解为使 $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 6, - 4$

解题步骤 12

排除不能使 $5 x^{\frac{1}{2}} (x - 6) (x + 4) = 0$ 成立的解。

$x = 0, 6$

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