代数示例

$\sin^{2} (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 1

使用 $1 - \cos^{2} (x)$ 替换 $\sin^{2} (x)$ 。

$(1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

代入 $u$ 替换 $\cos (x)$ 。

$1 - {(u)}^{2} + u = 0$

解题步骤 2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.3

将 $a = - 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 2.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 2.4.3

化简 $\frac{- 1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.5

最终答案为两个解的组合。

$u = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.6

代入 $\cos (x)$ 替换 $u$ 。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 2.8

在 $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.8.1

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 2.9

在 $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 2.9.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 2.9.2

化简右边。

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解题步骤 2.9.2.1

计算 $\arccos (\frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$x = 2.23703575$

解题步骤 2.9.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

解题步骤 2.9.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.1

去掉圆括号。

$x = 2 (3.14159265) - 2.23703575$

解题步骤 2.9.4.2

化简 $2 (3.14159265) - 2.23703575$ 。

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解题步骤 2.9.4.2.1

将 $2$ 乘以 $3.14159265$ 。

$x = 6.2831853 - 2.23703575$

解题步骤 2.9.4.2.2

从 $6.2831853$ 中减去 $2.23703575$ 。

$x = 4.04614954$

解题步骤 2.9.5

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 2.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 2.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 2.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 2.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 2.9.6

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 2.10

列出所有解。

$x = 2.23703575 + 2 π n, 4.04614954 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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