代数示例

$5^{x - 2} = 3 \cdot 4^{x + 1}$

解题步骤 1

取方程两边的对数。

$\ln (5^{x - 2}) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

解题步骤 2

通过将 $x - 2$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{x - 2})$ 。

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3 \cdot 4^{x + 1})$

解题步骤 3

将 $\ln (3 \cdot 4^{x + 1})$ 重写为 $\ln (3) + \ln (4^{x + 1})$ 。

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + \ln (4^{x + 1})$

解题步骤 4

通过将 $x + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (4^{x + 1})$ 。

$(x - 2) \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

解题步骤 5

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.1

化简左边。

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解题步骤 5.1.1

化简 $(x - 2) \ln (5)$ 。

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解题步骤 5.1.1.1

运用分配律。

$x \ln (5) - 2 \ln (5) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

解题步骤 5.1.1.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $- 2 \ln (5)$ 。

$x \ln (5) - \ln (5^{2}) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

解题步骤 5.1.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + (x + 1) \ln (4)$

解题步骤 5.2

化简右边。

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解题步骤 5.2.1

化简 $\ln (3) + (x + 1) \ln (4)$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1.1

运用分配律。

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + 1 \ln (4)$

解题步骤 5.2.1.1.2

将 $\ln (4)$ 乘以 $1$ 。

$x \ln (5) - \ln (25) = \ln (3) + x \ln (4) + \ln (4)$

解题步骤 5.2.1.2

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (3 \cdot 4)$

解题步骤 5.2.1.3

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$x \ln (5) - \ln (25) = x \ln (4) + \ln (12)$

解题步骤 5.3

将所有包含对数的项移到等式左边。

$x \ln (5) - \ln (25) - x \ln (4) - \ln (12) = 0$

解题步骤 5.4

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.4.1

在等式两边都加上 $\ln (25)$ 。

$x \ln (5) - x \ln (4) - \ln (12) = \ln (25)$

解题步骤 5.4.2

在等式两边都加上 $\ln (12)$ 。

$x \ln (5) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

解题步骤 5.5

从 $x \ln (5) - x \ln (4)$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

从 $x \ln (5)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (5)) - x \ln (4) = \ln (25) + \ln (12)$

解题步骤 5.5.2

从 $- x \ln (4)$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

解题步骤 5.5.3

从 $x (\ln (5)) + x (- 1 \ln (4))$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (\ln (5) - 1 \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

解题步骤 5.6

将 $- 1 \ln (4)$ 重写为 $- \ln (4)$ 。

$x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$

解题步骤 5.7

将 $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ 中的每一项除以 $\ln (5) - \ln (4)$ 并化简。

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解题步骤 5.7.1

将 $x (\ln (5) - \ln (4)) = \ln (25) + \ln (12)$ 中的每一项都除以 $\ln (5) - \ln (4)$ 。

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

解题步骤 5.7.2

化简左边。

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解题步骤 5.7.2.1

约去 $\ln (5) - \ln (4)$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x (\ln (5) - \ln (4))}{\ln (5) - \ln (4)} = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

解题步骤 5.7.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (25)}{\ln (5) - \ln (4)} + \frac{\ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

解题步骤 5.7.3

化简右边。

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解题步骤 5.7.3.1

在公分母上合并分子。

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

解题步骤 6

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (25) + \ln (12)}{\ln (5) - \ln (4)}$

小数形式：

$x = 25.56104552 \dots$

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