代数示例

$f (X) = 2 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 40$

解题步骤 1

将 $2 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 40$ 设为等于 $0$ 。

$2 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 40 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $2 x^{3} - 24 x^{2} + 44 x - 40$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) - 24 x^{2} + 44 x - 40 = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 24 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 44 x - 40 = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $44 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3}) + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (22 x) - 40 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $- 40$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2}) + 2 (22 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $2 x^{3} + 2 (- 12 x^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (22 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 2.1.1.6

从 $2 (x^{3} - 12 x^{2}) + 2 (22 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 12 x^{2} + 22 x) + 2 \cdot - 20 = 0$

解题步骤 2.1.1.7

从 $2 (x^{3} - 12 x^{2} + 22 x) + 2 \cdot - 20$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (x^{3} - 12 x^{2} + 22 x - 20) = 0$

解题步骤 2.1.2

因数。

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解题步骤 2.1.2.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 12 x^{2} + 22 x - 20$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 2.1.2.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 2.1.2.1.3

代入 $10$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $10$ 是多项式的根。

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解题步骤 2.1.2.1.3.1

将 $10$ 代入多项式。

$10^{3} - 12 \cdot 10^{2} + 22 \cdot 10 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.2

对 $10$ 进行 $3$ 次方运算。

$1000 - 12 \cdot 10^{2} + 22 \cdot 10 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.3

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$1000 - 12 \cdot 100 + 22 \cdot 10 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.4

将 $- 12$ 乘以 $100$ 。

$1000 - 1200 + 22 \cdot 10 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.5

从 $1000$ 中减去 $1200$ 。

$- 200 + 22 \cdot 10 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.6

将 $22$ 乘以 $10$ 。

$- 200 + 220 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.7

将 $- 200$ 和 $220$ 相加。

$20 - 20$

解题步骤 2.1.2.1.3.8

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0$

解题步骤 2.1.2.1.4

因为 $10$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x - 10$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 12 x^{2} + 22 x - 20}{x - 10}$

解题步骤 2.1.2.1.5

用 $x^{3} - 12 x^{2} + 22 x - 20$ 除以 $x - 10$ 。

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解题步骤 2.1.2.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$10$

$x^{3}$

$12 x^{2}$

$22 x$

$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	-	$10 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} - 10 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

解题步骤 2.1.2.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					-	$2 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x^{2} + 20 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$

解题步骤 2.1.2.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$	-	$20$
							+	$2 x$	-	$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $2 x - 20$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$	-	$20$
							-	$2 x$	+	$20$

解题步骤 2.1.2.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$2 x$	+	$2$
$x$	-	$10$		$x^{3}$	-	$12 x^{2}$	+	$22 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	+	$10 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	+	$22 x$
					+	$2 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$2 x$	-	$20$
							-	$2 x$	+	$20$
										$0$

解题步骤 2.1.2.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 2 x + 2$

解题步骤 2.1.2.1.6

将 $x^{3} - 12 x^{2} + 22 x - 20$ 书写为因数的集合。

$2 ((x - 10) (x^{2} - 2 x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.2.2

去掉多余的括号。

$2 (x - 10) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $x - 10$ 设为等于 $0$ 。

$x - 10 = 0$

解题步骤 2.3.2

在等式两边都加上 $10$ 。

$x = 10$

解题步骤 2.4

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x^{2} - 2 x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 。

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解题步骤 2.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = - 2$ 和 $c = 2$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3

化简。

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解题步骤 2.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 2.4.2.3.1.1

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ 。

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解题步骤 2.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.3

从 $4$ 中减去 $8$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.4

将 $- 4$ 重写为 $- 1 (4)$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (4)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ 。

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.7

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.8

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.1.9

将 $2$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

解题步骤 2.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

解题步骤 2.4.2.3.3

化简 $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ 。

$x = 1 \pm i$

解题步骤 2.4.2.4

最终答案为两个解的组合。

$x = 1 + i, 1 - i$

解题步骤 2.5

最终解为使 $2 (x - 10) (x^{2} - 2 x + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 10, 1 + i, 1 - i$

解题步骤 3

代数 示例

代数示例