代数示例

$z^{6} - 9 z^{3} + 8$

解题步骤 1

将 $z^{6}$ 重写为 ${(z^{3})}^{2}$ 。

${(z^{3})}^{2} - 9 z^{3} + 8$

解题步骤 2

使 $u = z^{3}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $z^{3}$ 。

$u^{2} - 9 u + 8$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 9 u + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $- 9$ 。

$- 8, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 8) (u - 1)$

解题步骤 4

使用 $z^{3}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(z^{3} - 8) (z^{3} - 1)$

解题步骤 5

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$(z^{3} - 2^{3}) (z^{3} - 1)$

解题步骤 6

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 2$ 。

$(z - 2) (z^{2} + z \cdot 2 + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $2$ 移到 $z$ 的左侧。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 2^{2}) (z^{3} - 1)$

解题步骤 7.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1)$

解题步骤 8

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z^{3} - 1^{3})$

解题步骤 9

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = z$ 和 $b = 1$ 。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z \cdot 1 + 1^{2}))$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

化简。

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解题步骤 10.1.1

将 $z$ 乘以 $1$ 。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1^{2}))$

解题步骤 10.1.2

一的任意次幂都为一。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) ((z - 1) (z^{2} + z + 1))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$(z - 2) (z^{2} + 2 z + 4) (z - 1) (z^{2} + z + 1)$

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