代数示例

$f (x) = x {(x + 5)}^{2} (x + 3)$

解题步骤 1

确定函数的最高次数。

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解题步骤 1.1

化简并重新排序多项式。

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解题步骤 1.1.1

将 ${(x + 5)}^{2}$ 重写为 $(x + 5) (x + 5)$ 。

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 1.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x + 5)$ 。

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解题步骤 1.1.2.1

运用分配律。

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 1.1.2.2

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 1.1.2.3

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 1.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 1.1.3.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 1.1.3.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.3.2

将 $5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.4

运用分配律。

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.5

化简。

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解题步骤 1.1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.5.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 1.1.5.3

将 $25$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

解题步骤 1.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.6.1

移动 $x$ 。

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

解题步骤 1.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

解题步骤 1.1.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8

化简项。

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解题步骤 1.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.8.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.4

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.1.8.1.5.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

解题步骤 1.1.8.1.6

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

解题步骤 1.1.8.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.1.8.2.1

将 $3 x^{3}$ 和 $10 x^{3}$ 相加。

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

解题步骤 1.1.8.2.2

将 $30 x^{2}$ 和 $25 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

解题步骤 1.2

最大的指数是多项式的次数。

$4$

解题步骤 2

因为函数的次数为偶数，所以函数的端点指向相同方向。

偶

解题步骤 3

确定首项系数。

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解题步骤 3.1

化简多项式，并按照从最高次项从左到右重新排列。

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解题步骤 3.1.1

将 ${(x + 5)}^{2}$ 重写为 $(x + 5) (x + 5)$ 。

$x ((x + 5) (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 5) (x + 5)$ 。

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解题步骤 3.1.2.1

运用分配律。

$x (x (x + 5) + 5 (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 3.1.2.2

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 (x + 5)) (x + 3)$

解题步骤 3.1.2.3

运用分配律。

$x (x \cdot x + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x (x^{2} + x \cdot 5 + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 3.1.3.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$x (x^{2} + 5 \cdot x + 5 x + 5 \cdot 5) (x + 3)$

解题步骤 3.1.3.1.3

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$x (x^{2} + 5 x + 5 x + 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.3.2

将 $5 x$ 和 $5 x$ 相加。

$x (x^{2} + 10 x + 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.4

运用分配律。

$(x \cdot x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.5

化简。

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解题步骤 3.1.5.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1.1

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.5.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x^{1} x^{2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.5.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x^{1 + 2} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.5.1.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$(x^{3} + x (10 x) + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.5.2

使用乘法的交换性质重写。

$(x^{3} + 10 x \cdot x + x \cdot 25) (x + 3)$

解题步骤 3.1.5.3

将 $25$ 移到 $x$ 的左侧。

$(x^{3} + 10 x \cdot x + 25 \cdot x) (x + 3)$

解题步骤 3.1.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

移动 $x$ 。

$(x^{3} + 10 (x \cdot x) + 25 \cdot x) (x + 3)$

解题步骤 3.1.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 \cdot x) (x + 3)$

$(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$

解题步骤 3.1.7

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(x^{3} + 10 x^{2} + 25 x) (x + 3)$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8

化简项。

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解题步骤 3.1.8.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.8.1.1

通过指数相加将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.8.1.1.1

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.8.1.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{3} x^{1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{3 + 1} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.1.2

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$x^{4} + x^{3} \cdot 3 + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.2

将 $3$ 移到 $x^{3}$ 的左侧。

$x^{4} + 3 \cdot x^{3} + 10 x^{2} x + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.8.1.3.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x \cdot x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.1.8.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 (x^{1} x^{2}) + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{1 + 2} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 10 x^{2} \cdot 3 + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.4

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x \cdot x + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.8.1.5.1

移动 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 (x \cdot x) + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 25 x \cdot 3$

解题步骤 3.1.8.1.6

将 $3$ 乘以 $25$ 。

$x^{4} + 3 x^{3} + 10 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

解题步骤 3.1.8.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.1.8.2.1

将 $3 x^{3}$ 和 $10 x^{3}$ 相加。

$x^{4} + 13 x^{3} + 30 x^{2} + 25 x^{2} + 75 x$

解题步骤 3.1.8.2.2

将 $30 x^{2}$ 和 $25 x^{2}$ 相加。

$x^{4} + 13 x^{3} + 55 x^{2} + 75 x$

解题步骤 3.2

多项式的首项指的是次数最高的项。

$x^{4}$

解题步骤 3.3

多项式中的首项系数指的是首项的系数。

$1$

解题步骤 4

因为首项系数是正数，所以图像向右上升。

正

解题步骤 5

使用函数的度数和首项系数的符号确定其性质。

1. 偶数且正数：向左上升和向右上升。

2. 偶数且负数：向左下降和向右下降。

3. 奇数且正数：向左下降和向右上升。

4. 奇数且负数：向左下降和向右下降

解题步骤 6

确定性态。

向左上升，向右上升

解题步骤 7

代数 示例

代数示例