代数示例

$\frac{x^{2} - 16}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \div \frac{x - 4}{x^{2} + 15 x + 54}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} - 16}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 2

化简分子。

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解题步骤 2.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$\frac{x^{2} - 4^{2}}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{81 - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{9^{2} - x^{2}} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 9$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{x^{2} + 10 x + 24} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 4

使用 AC 法来对 $x^{2} + 10 x + 24$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $24$ ，和为 $10$ 。

$4, 6$

解题步骤 4.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{(x + 4) (x + 6)} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.1

约去公因数。

$\frac{(x + 4) (x - 4)}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{(x + 4) (x + 6)} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 5.1.2

重写表达式。

$\frac{x - 4}{(9 + x) (9 - x)} \cdot \frac{2 x}{x + 6} \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 5.2

将 $\frac{x - 4}{(9 + x) (9 - x)}$ 乘以 $\frac{2 x}{x + 6}$ 。

$\frac{(x - 4) (2 x)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} \cdot \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 5.3

约去 $x - 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.1

约去公因数。

$\frac{(x - 4) (2 x)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} \cdot \frac{x^{2} + 15 x + 54}{x - 4}$

解题步骤 5.3.2

重写表达式。

$\frac{2 x}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)} (x^{2} + 15 x + 54)$

解题步骤 5.4

将 $\frac{2 x}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$ 乘以 $x^{2} + 15 x + 54$ 。

$\frac{2 x (x^{2} + 15 x + 54)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

解题步骤 6

使用 AC 法来对 $x^{2} + 15 x + 54$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $54$ ，和为 $15$ 。

$6, 9$

解题步骤 6.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{2 x ((x + 6) (x + 9))}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

$\frac{2 x (x + 6) (x + 9)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

解题步骤 7

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 7.1

约去公因数。

$\frac{2 x (x + 6) (x + 9)}{(9 + x) (9 - x) (x + 6)}$

解题步骤 7.2

重写表达式。

$\frac{2 x (x + 9)}{(9 + x) (9 - x)}$

解题步骤 8

约去 $x + 9$ 和 $9 + x$ 的公因数。

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解题步骤 8.1

重新排序项。

$\frac{2 x (x + 9)}{(x + 9) (9 - x)}$

解题步骤 8.2

约去公因数。

$\frac{2 x (x + 9)}{(x + 9) (9 - x)}$

解题步骤 8.3

重写表达式。

$\frac{2 x}{9 - x}$

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