代数示例

$y = {(2 x - 1)}^{2} - 2$

解题步骤 1

交换变量。

$x = {(2 y - 1)}^{2} - 2$

解题步骤 2

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1

将方程重写为 ${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$ 。

${(2 y - 1)}^{2} - 2 = x$

解题步骤 2.2

在等式两边都加上 $2$ 。

${(2 y - 1)}^{2} = x + 2$

解题步骤 2.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$2 y - 1 = \pm \sqrt{x + 2}$

解题步骤 2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$2 y - 1 = \sqrt{x + 2}$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = \sqrt{x + 2} + 1$

解题步骤 2.4.3

将 $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $2 y = \sqrt{x + 2} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.4

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$2 y - 1 = - \sqrt{x + 2}$

解题步骤 2.4.5

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$

解题步骤 2.4.6

将 $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 2.4.6.1

将 $2 y = - \sqrt{x + 2} + 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.6.2

化简左边。

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解题步骤 2.4.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.4.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.6.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.6.3

化简右边。

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解题步骤 2.4.6.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 2.4.7

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 3

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 4

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 是否为 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 4.1

反函数的值域为原函数的定义域，反之亦然。求 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 和 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的值域及定义域，并将结果进行比较。

解题步骤 4.2

求 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的值域。

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解题步骤 4.2.1

值域为全部有效 $y$ 值的集合。可使用图像找出值域。

区间计数法：

$[- 2, \infty)$

解题步骤 4.3

求 $\frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的定义域。

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解题步骤 4.3.1

将 $\sqrt{x + 2}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$x + 2 \geq 0$

解题步骤 4.3.2

从不等式两边同时减去 $2$ 。

$x \geq - 2$

解题步骤 4.3.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $x$ 。

$[- 2, \infty)$

解题步骤 4.4

求 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的定义域。

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解题步骤 4.4.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

$(- \infty, \infty)$

解题步骤 4.5

由于 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的定义域为 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的值域，而 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 的值域又为 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的定义域，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$ 为 $f (x) = {(2 x - 1)}^{2} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}, - \frac{\sqrt{x + 2}}{2} + \frac{1}{2}$

解题步骤 5

代数 示例

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