代数示例

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 36}{x^{2} + 9 x + 18}$

解题步骤 1

化简分子。

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解题步骤 1.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 6^{2}}{x^{2} + 9 x + 18}$

解题步骤 1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 6$ 。

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x^{2} + 9 x + 18}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $9$ 。

$3, 6$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{- 4}{9 - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 3

化简分母。

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解题步骤 3.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{- 4}{3^{2} - x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 3$ 和 $b = x$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 9}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{x^{2} - 3^{2}}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{24 x - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5

化简项。

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解题步骤 5.1

从 $24 x - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

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解题步骤 5.1.1

从 $24 x$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) - 4 x^{2}} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6) + 4 x (- x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.1.3

从 $4 x (6) + 4 x (- x)$ 中分解出因数 $4 x$ 。

$\frac{- 4}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.2.2

从 $4 x (6 - x)$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{4 (- 1)}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.2.3

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{4 (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.2.4

重写表达式。

$\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)} \cdot \frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{- 1}{(3 + x) (3 - x)}$ 乘以 $\frac{(x + 3) (x - 3)}{x (6 - x)}$ 。

$\frac{- ((x + 3) (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) (x (6 - x))} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.4

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.1

从 $- (x + 3) (x - 3)$ 中分解出因数 $x + 3$ 。

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.4.2

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (- 1 (x - 3))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 3) (x + 6)}$

解题步骤 5.4.3

重写表达式。

$\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$

解题步骤 5.5

将 $\frac{- 1 (x - 3)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$ 乘以 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{x + 6}$ 。

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

解题步骤 5.6

约去 $x + 6$ 的公因数。

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解题步骤 5.6.1

约去公因数。

$\frac{- 1 (x - 3) ((x + 6) (x - 6))}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x) (x + 6)}$

解题步骤 5.6.2

重写表达式。

$\frac{- 1 (x - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7

约去 $x - 3$ 和 $3 - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.7.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 3) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7.2

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$\frac{- 1 (- 1 (- x) - 1 (3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7.3

从 $- 1 (- x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (3 - x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7.4

重新排序项。

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7.5

约去公因数。

$\frac{- 1 (- 1 (- x + 3)) (x - 6)}{(3 + x) (- x + 3) x (6 - x)}$

解题步骤 5.7.6

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (x - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.8

约去 $x - 6$ 和 $6 - x$ 的公因数。

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解题步骤 5.8.1

从 $x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 6)}{(3 + x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.8.2

将 $- 6$ 重写为 $- 1 (6)$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x) - 1 (6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.8.3

从 $- 1 (- x) - 1 (6)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (6 - x)}$

解题步骤 5.8.4

重新排序项。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

解题步骤 5.8.5

约去公因数。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) (- 1 (- x + 6))}{(3 + x) x (- x + 6)}$

解题步骤 5.8.6

重写表达式。

$\frac{- 1 \cdot (- 1) \cdot (- 1)}{(3 + x) x}$

解题步骤 6

化简分子。

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解题步骤 6.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 \cdot - 1}{(3 + x) x}$

解题步骤 6.2

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- 1}{(3 + x) x}$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{(3 + x) x}$

解题步骤 7.2

将 $- \frac{1}{(3 + x) x}$ 中的因式重新排序。

$- \frac{1}{x (3 + x)}$

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