代数示例

$f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{5^{y}} + 9$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$ 。

$\sqrt[3]{5^{y}} + 9 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $9$ 。

$\sqrt[3]{5^{y}} = x - 9$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{5^{y}}}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{5^{y}}$ 重写成 $5^{\frac{y}{3}}$ 。

${(5^{\frac{y}{3}})}^{3} = {(x - 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

将 ${(5^{\frac{y}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.2.1

约去公因数。

$5^{\frac{y}{3} \cdot 3} = {(x - 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.2.1.2.2

重写表达式。

$5^{y} = {(x - 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(x - 9)}^{3}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

使用二项式定理。

$5^{y} = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 9 + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x {(- 9)}^{2} + {(- 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

对 $- 9$ 进行 $2$ 次方运算。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 3 x \cdot 81 + {(- 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

将 $81$ 乘以 $3$ 。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x + {(- 9)}^{3}$

解题步骤 3.4.3.1.2.4

对 $- 9$ 进行 $3$ 次方运算。

$5^{y} = x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (5^{y}) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

解题步骤 3.5.2

通过将 $y$ 移到对数外来展开 $\ln (5^{y})$ 。

$y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$

解题步骤 3.5.3

将 $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ 中的每一项除以 $\ln (5)$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $y \ln (5) = \ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)$ 中的每一项都除以 $\ln (5)$ 。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $\ln (5)$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9)$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1.1

运用分配律。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 243 \cdot 9 - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.1.2

将 $243$ 乘以 $9$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 2187 - 729)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $2187$ 中减去 $729$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{5^{x}} + 9) = \frac{\ln ({(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{3} - 27 {(\sqrt[3]{5^{x}} + 9)}^{2} + 243 \sqrt[3]{5^{x}} + 1458)}{\ln (5)}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)})$ 。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}}} + 9$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

使用换底公式 $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ 。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{5^{\log_{5} (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}} + 9$

解题步骤 5.3.3.2

指数函数和对数函数互为反函数。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729} + 9$

解题步骤 5.3.3.3

使每一项与二项式定理公式中的项相匹配。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (9 x^{2}) + 3 \cdot (9^{2} x) - 1 \cdot 9^{3}} + 9$

解题步骤 5.3.3.4

使用二项式定理来对 $x^{3} - 3 \cdot 9 x^{2} + 3 \cdot 9^{2} x - 1 \cdot 9^{3}$ 进行因式分解。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = \sqrt[3]{{(x - 9)}^{3}} + 9$

解题步骤 5.3.3.5

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x - 9 + 9$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - 9 + 9$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{5^{x}} + 9$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x^{3} - 27 x^{2} + 243 x - 729)}{\ln (5)}$

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