代数示例

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1

化简项。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2

化简项。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

约去公因数。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.2.2

重写表达式。

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.2.3.1

约去公因数。

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.3.2

重写表达式。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.4

运用分配律。

$(1 \cdot 5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.5

化简表达式。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $5$ 乘以 $1$ 。

$(5 + i \sqrt{3} \cdot 5) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.2.5.2

将 $5$ 移到 $i \sqrt{3}$ 的左侧。

$(5 + 5 \cdot (i \sqrt{3})) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.3

去掉圆括号。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.4

化简每一项。

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解题步骤 1.4.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.4.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1.4.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3}))$

解题步骤 1.4.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2})$

解题步骤 1.4.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2

使用 FOIL 方法展开 $(5 + 5 i \sqrt{3}) (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2.2

运用分配律。

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 2.3

运用分配律。

$5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.1

乘以 $5 (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.1.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.3

组合 $5$ 和 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2} + 5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2}) + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.4

乘以 $5 i \sqrt{3} (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - 5 i \sqrt{3} \frac{1}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.4.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $- 5$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5}{2} i \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.4.3

组合 $\frac{- 5}{2}$ 和 $i$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i}{2} \sqrt{3} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.4.4

组合 $\frac{- 5 i}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.5

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + 5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.6

乘以 $5 i \sqrt{3} \frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 3.1.6.1

组合 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 和 $5$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2} i \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.2

组合 $\frac{i \sqrt{3} \cdot 5}{2}$ 和 $i$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{i \sqrt{3} \cdot 5 i}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i)}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.4

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 (i^{1} i^{1})}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{1 + 1}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 3.1.6.7

组合 $\frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2}}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3} \cdot 5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.1.6.8

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 3.1.6.9

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

解题步骤 3.1.6.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

解题步骤 3.1.6.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.1.7

化简分子。

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解题步骤 3.1.7.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 3.1.7.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.1.7.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

解题步骤 3.1.7.2.5

计算指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

解题步骤 3.1.7.3

合并指数。

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解题步骤 3.1.7.3.1

提取负因数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

解题步骤 3.1.7.3.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

解题步骤 3.1.7.3.3

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \frac{- 15}{2}$

解题步骤 3.1.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.3

从 $- 5$ 中减去 $15$ 。

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20}{2} + \frac{0}{2}$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 + 0}{2}$

解题步骤 3.6

将 $- 20$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 20}{2}$

解题步骤 4

用 $- 20$ 除以 $2$ 。

$- 10$

代数 示例

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