代数示例

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \div \frac{x^{2} + 8 x + 15}{100 - 4 x^{2}}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} + 12 x + 27}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 12 x + 27$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $27$ ，和为 $12$ 。

$3, 9$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{42 x - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 3

从 $42 x - 6 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

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解题步骤 3.1

从 $42 x$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) - 6 x^{2}} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 3.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7) + 6 x (- x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 3.3

从 $6 x (7) + 6 x (- x)$ 中分解出因数 $6 x$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{49 - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $49$ 重写为 $7^{2}$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{7^{2} - x^{2}}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 7$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x^{2} + 16 x + 63} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 16 x + 63$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $63$ ，和为 $16$ 。

$7, 9$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 3) (x + 9)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $(x + 3) (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 7) (x + 9)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.2

从 $(x + 7) (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.3

约去公因数。

$\frac{(x + 9) (x + 3)}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{(x + 9) (x + 7)} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.1.4

重写表达式。

$\frac{x + 3}{6 x (7 - x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.2

约去 $7 - x$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1

从 $6 x (7 - x)$ 中分解出因数 $7 - x$ 。

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 + x) (7 - x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.2.2

从 $(7 + x) (7 - x)$ 中分解出因数 $7 - x$ 。

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.2.3

约去公因数。

$\frac{x + 3}{(7 - x) (6 x)} \cdot \frac{(7 - x) (7 + x)}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.2.4

重写表达式。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{7 + x}{x + 7} \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.3

将 $\frac{x + 3}{6 x}$ 乘以 $\frac{7 + x}{x + 7}$ 。

$\frac{(x + 3) (7 + x)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.4

约去 $7 + x$ 和 $x + 7$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

重新排序项。

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.4.2

约去公因数。

$\frac{(x + 3) (x + 7)}{6 x (x + 7)} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 6.4.3

重写表达式。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{100 - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

从 $100 - 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $100$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) - 4 x^{2}}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 7.1.2

从 $- 4 x^{2}$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25) + 4 (- x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 7.1.3

从 $4 (25) + 4 (- x^{2})$ 中分解出因数 $4$ 。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (25 - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 7.2

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5^{2} - x^{2})}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 7.3

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 5$ 和 $b = x$ 。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x^{2} + 8 x + 15}$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x + 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $15$ ，和为 $8$ 。

$3, 5$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

约去公因数。

$\frac{x + 3}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{(x + 3) (x + 5)}$

解题步骤 9.1.2

重写表达式。

$\frac{1}{6 x} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

解题步骤 9.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{4 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

解题步骤 9.2.2

从 $4 (5 + x) (5 - x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

解题步骤 9.2.3

约去公因数。

$\frac{1}{2 (3 x)} \cdot \frac{2 (2 (5 + x) (5 - x))}{x + 5}$

解题步骤 9.2.4

重写表达式。

$\frac{1}{3 x} \cdot \frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$

解题步骤 9.3

将 $\frac{1}{3 x}$ 乘以 $\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{x + 5}$ 。

$\frac{2 (5 + x) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

解题步骤 9.4

约去 $5 + x$ 和 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.1

重新排序项。

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

解题步骤 9.4.2

约去公因数。

$\frac{2 (x + 5) (5 - x)}{3 x (x + 5)}$

解题步骤 9.4.3

重写表达式。

$\frac{2 (5 - x)}{3 x}$

代数 示例

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