代数示例

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) - 1 = 0$

解题步骤 1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos^{2} (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm \sqrt{1}$

解题步骤 3

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = \pm 1$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1, - 1$

解题步骤 5

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$

解题步骤 6

在 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (1)$

解题步骤 6.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 0$

解题步骤 6.3

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 6.5

化简方程的两边。

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解题步骤 6.5.1

化简左边。

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解题步骤 6.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 6.5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (- \frac{π}{3})$

解题步骤 6.5.2

化简右边。

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解题步骤 6.5.2.1

化简 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 6.5.2.1.1

乘以 $2 (- \frac{π}{3})$ 。

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解题步骤 6.5.2.1.1.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$x = - 2 \frac{π}{3}$

解题步骤 6.5.2.1.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{- 2 π}{3}$

解题步骤 6.5.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.6

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - 0$

解题步骤 6.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.7.1

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π$

解题步骤 6.7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 6.7.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.7.2.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.7.2.3

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 6.7.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 6.7.2.5

化简分子。

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解题步骤 6.7.2.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 6.7.2.5.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.7.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 6.7.4.1

化简左边。

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解题步骤 6.7.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.7.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{5 π}{3}$

解题步骤 6.7.4.2

化简右边。

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解题步骤 6.7.4.2.1

乘以 $2 \frac{5 π}{3}$ 。

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解题步骤 6.7.4.2.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{5 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 (5 π)}{3}$

解题步骤 6.7.4.2.1.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{10 π}{3}$

解题步骤 6.8

求 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 6.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 6.8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 6.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 6.8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 6.9

将 $4 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 6.9.1

将 $4 π$ 加到 $- \frac{2 π}{3}$ 以求正角。

$- \frac{2 π}{3} + 4 π$

解题步骤 6.9.2

要将 $4 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$4 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.9.3

合并分数。

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解题步骤 6.9.3.1

组合 $4 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{4 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 6.9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{4 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 6.9.4

化简分子。

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解题步骤 6.9.4.1

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{12 π - 2 π}{3}$

解题步骤 6.9.4.2

从 $12 π$ 中减去 $2 π$ 。

$\frac{10 π}{3}$

解题步骤 6.9.5

列出新角。

$x = \frac{10 π}{3}$

解题步骤 6.10

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

在 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3}) = - 1$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = \arccos (- 1)$

解题步骤 7.2

化简右边。

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解题步骤 7.2.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

解题步骤 7.3

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.3.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.3.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.3.3

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.3.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 7.3.5

化简分子。

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解题步骤 7.3.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 7.3.5.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.4

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.5

化简方程的两边。

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解题步骤 7.5.1

化简左边。

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解题步骤 7.5.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.5.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.5.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.5.2

化简右边。

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解题步骤 7.5.2.1

乘以 $2 \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 7.5.2.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

解题步骤 7.5.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.6

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = 2 π - π$

解题步骤 7.7

求解 $x$ 。

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解题步骤 7.7.1

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} + \frac{π}{3} = π$

解题步骤 7.7.2

将所有不包含 $x$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 7.7.2.1

从等式两边同时减去 $\frac{π}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = π - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.7.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.7.2.3

组合 $π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 7.7.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{x}{2} = \frac{π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 7.7.2.5

化简分子。

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解题步骤 7.7.2.5.1

将 $3$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{x}{2} = \frac{3 \cdot π - π}{3}$

解题步骤 7.7.2.5.2

从 $3 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.7.3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.7.4

化简方程的两边。

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解题步骤 7.7.4.1

化简左边。

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解题步骤 7.7.4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.7.4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.7.4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{2 π}{3}$

解题步骤 7.7.4.2

化简右边。

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解题步骤 7.7.4.2.1

乘以 $2 \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 7.7.4.2.1.1

组合 $2$ 和 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 (2 π)}{3}$

解题步骤 7.7.4.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 7.8

求 $\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 的周期。

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解题步骤 7.8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.8.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.8.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.8.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.8.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 7.9

$\cos (\frac{x}{2} + \frac{π}{3})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{4 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

列出所有解。

$x = \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{10 π}{3} + 4 π n, \frac{4 π}{3} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

代数 示例

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