代数示例

$\cos^{2} (x) = \sin (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\sin (x)$ 。

$\cos^{2} (x) - \sin (x) = 0$

解题步骤 2

使用 $1 - \sin^{2} (x)$ 替换 $\cos^{2} (x)$ 。

$(1 - \sin^{2} (x)) - \sin (x) = 0$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$1 - {(u)}^{2} - (u) = 0$

解题步骤 3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.3

将 $a = - 1$ 、 $b = - 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot 1)}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4

化简。

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解题步骤 3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.1.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot - 1 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot - 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4 \cdot 1}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.1.2.2

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2 \cdot - 1}$

解题步骤 3.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{- 2}$

解题步骤 3.4.3

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.6

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}, - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.7

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$

解题步骤 3.8

在 $\sin (x) = - \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 3.9

在 $\sin (x) = - \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 3.9.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$

解题步骤 3.9.2

化简右边。

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解题步骤 3.9.2.1

计算 $\arcsin (- \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ 。

$x = 0.66623943$

解题步骤 3.9.3

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$

解题步骤 3.9.4

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.9.4.1

从 $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265 - 2 π$

解题步骤 3.9.4.2

得出的角 $2.47535322$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 (3.14159265) - 0.66623943 + 3.14159265$ 共边。

$x = 2.47535322$

解题步骤 3.9.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.9.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.9.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.9.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.9.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.9.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 3.10

列出所有解。

$x = 0.66623943 + 2 π n, 2.47535322 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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