代数示例

$f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ 写为等式。

$y = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 \cdot 3^{2 y} + 4$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$ 。

$2 \cdot 3^{2 y} + 4 = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$

解题步骤 3.3

将 $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 \cdot 3^{2 y} = x - 4$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cdot 3^{2 y}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $3^{2 y}$ 除以 $1$ 。

$3^{2 y} = \frac{x}{2} + \frac{- 4}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

用 $- 4$ 除以 $2$ 。

$3^{2 y} = \frac{x}{2} - 2$

解题步骤 3.4

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{2 y}) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

解题步骤 3.5

通过将 $2 y$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{2 y})$ 。

$2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$

解题步骤 3.6

将 $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ 中的每一项除以 $2 \ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 3.6.1

将 $2 y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2} - 2)$ 中的每一项都除以 $2 \ln (3)$ 。

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 3.6.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y \ln (3)}{2 \ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 3.6.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 3.6.2.2

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 3.6.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ 是否为 $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4)$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{2 x} + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3

约去 $2 \cdot 3^{2 x} + 4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.1

从 $2 \cdot 3^{2 x}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 4}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x}) + 2 \cdot 2}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.3

从 $2 (3^{2 x}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.4

约去公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 (1)} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.4.2

约去公因数。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{2 x} + 2)}{2 \cdot 1} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.4.3

重写表达式。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (\frac{3^{2 x} + 2}{1} - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.4.4

用 $3^{2 x} + 2$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 2 - 2)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.4

合并 $3^{2 x} + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x} + 0)}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $3^{2 x}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{2 \ln (3)}$

解题步骤 5.2.5

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (3^{2})}$

解题步骤 5.2.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (2 \cdot 3^{2 x} + 4) = \frac{\ln (3^{2 x})}{\ln (9)}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)})} + 4$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

解题步骤 5.3.3.1.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

解题步骤 5.3.3.1.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 2 \cdot 2}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

解题步骤 5.3.3.1.4

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{2 \ln (3)})} + 4$

解题步骤 5.3.3.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (3)$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (3^{2})})} + 4$

解题步骤 5.3.3.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{2 (\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)})} + 4$

解题步骤 5.3.3.4

乘以 $2 \frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ 。

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解题步骤 5.3.3.4.1

组合 $2$ 和 $\frac{\ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{2 \ln (\frac{x - 4}{2})}{\ln (9)}} + 4$

解题步骤 5.3.3.4.2

通过将 ( RATIONALNUMBER1) 移入对数中来化简 $2 \ln (\frac{x - 4}{2})$ 。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln ({(\frac{x - 4}{2})}^{2})}{\ln (9)}} + 4$

解题步骤 5.3.3.5

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.5.1

对 $\frac{x - 4}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{2^{2}})}{\ln (9)}} + 4$

解题步骤 5.3.3.5.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\frac{\ln (\frac{{(x - 4)}^{2}}{4})}{\ln (9)}} + 4$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$ 为 $f (x) = 2 \cdot 3^{2 x} + 4$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2} - 2)}{2 \ln (3)}$

代数 示例

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