代数示例

$x^{2} + y^{2} \leq 16$ $x^{2} - y > 2$

解题步骤 1

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$y^{2} \leq 16 - x^{2}$

解题步骤 1.2

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{y^{2}} \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

解题步骤 1.3

化简方程。

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解题步骤 1.3.1

化简左边。

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解题步骤 1.3.1.1

从根式下提出各项。

$| y | \leq \sqrt{16 - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2

化简右边。

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解题步骤 1.3.2.1

化简 $\sqrt{16 - x^{2}}$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| y | \leq \sqrt{4^{2} - x^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 4$ 和 $b = x$ 。

$| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

解题步骤 1.4

将 $| y | \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.4.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$y \geq 0$

解题步骤 1.4.2

在 $y$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

解题步骤 1.4.3

求 $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的定义域，并求与 $y \geq 0$ 的交点。

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解题步骤 1.4.3.1

求 $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 1.4.3.1.1

将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1

化简 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1.1.1

运用分配律。

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.1.2

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.1.3

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.1.2.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$16 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.2

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$- x^{2} \geq - 16$

解题步骤 1.4.3.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 16$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.3.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 16$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.3.3.1

用 $- 16$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 16$

解题步骤 1.4.3.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

解题步骤 1.4.3.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 1.4.3.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{16}$

解题步骤 1.4.3.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{16}$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.5.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 1.4.3.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 4 |$

解题步骤 1.4.3.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$| x | \leq 4$

解题步骤 1.4.3.1.2.6

将 $| x | \leq 4$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.4.3.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 4$

解题步骤 1.4.3.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 4$

解题步骤 1.4.3.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.4.3.1.2.7

求 $x \leq 4$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 4$

解题步骤 1.4.3.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 4$ 。

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解题步骤 1.4.3.1.2.8.1

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.3.1.2.8.1.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 1.4.3.1.2.8.2

求 $x \geq - 4$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 4 \leq x < 0$

解题步骤 1.4.3.1.2.9

求解的并集。

$- 4 \leq x \leq 4$

解题步骤 1.4.3.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 4, 4]$

解题步骤 1.4.3.2

求 $y \geq 0$ 和 $[- 4, 4]$ 的交点。

$0 \leq y \leq 4$

解题步骤 1.4.4

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$y < 0$

解题步骤 1.4.5

在 $y$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

解题步骤 1.4.6

求 $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的定义域，并求与 $y < 0$ 的交点。

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解题步骤 1.4.6.1

求 $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的定义域。

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解题步骤 1.4.6.1.1

将 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 的被开方数设为大于或等于 $0$ ，以求使表达式有意义的区间。

$(4 + x) (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2

求解 $y$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1

化简 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(4 + x) (4 - x)$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1.1.1

运用分配律。

$4 (4 - x) + x (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.1.2

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x (4 - x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.1.3

运用分配律。

$4 \cdot 4 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$16 + 4 (- x) + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$16 - 4 x + x \cdot 4 + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.3

将 $4$ 移到 $x$ 的左侧。

$16 - 4 x + 4 \cdot x + x (- x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$16 - 4 x + 4 x - x \cdot x \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.5.1

移动 $x$ 。

$16 - 4 x + 4 x - (x \cdot x) \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$16 - 4 x + 4 x - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$16 + 0 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.1.2.3

将 $16$ 和 $0$ 相加。

$16 - x^{2} \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.2

从不等式两边同时减去 $16$ 。

$- x^{2} \geq - 16$

解题步骤 1.4.6.1.2.3

将 $- x^{2} \geq - 16$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.6.1.2.3.1

将 $- x^{2} \geq - 16$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.3.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.3.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.3.2.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} \leq \frac{- 16}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.3.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.3.3.1

用 $- 16$ 除以 $- 1$ 。

$x^{2} \leq 16$

解题步骤 1.4.6.1.2.4

取不等式两边的指定根来消去方程左边的指数。

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{16}$

解题步骤 1.4.6.1.2.5

化简方程。

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解题步骤 1.4.6.1.2.5.1

化简左边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.5.1.1

从根式下提出各项。

$| x | \leq \sqrt{16}$

解题步骤 1.4.6.1.2.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.5.2.1

化简 $\sqrt{16}$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.5.2.1.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$| x | \leq \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 1.4.6.1.2.5.2.1.2

从根式下提出各项。

$| x | \leq | 4 |$

解题步骤 1.4.6.1.2.5.2.1.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $4$ 之间的距离为 $4$ 。

$| x | \leq 4$

解题步骤 1.4.6.1.2.6

将 $| x | \leq 4$ 书写为分段式。

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解题步骤 1.4.6.1.2.6.1

要求第一段的区间，需找到绝对值内为非负的地方。

$x \geq 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.6.2

在 $x$ 为非负数的地方，去掉绝对值。

$x \leq 4$

解题步骤 1.4.6.1.2.6.3

要求第二段的区间，需找到绝对值内为负的地方。

$x < 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.6.4

在 $x$ 为负的地方，去掉绝对值符号并乘以 $- 1$ 。

$- x \leq 4$

解题步骤 1.4.6.1.2.6.5

书写为分段式。

${\begin{cases} x \leq 4 & x \geq 0 \\ - x \leq 4 & x < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.4.6.1.2.7

求 $x \leq 4$ 和 $x \geq 0$ 的交点。

$0 \leq x \leq 4$

解题步骤 1.4.6.1.2.8

当 $x < 0$ 时求解 $- x \leq 4$ 。

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解题步骤 1.4.6.1.2.8.1

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.1

将 $- x \leq 4$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{x}{1} \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x \geq \frac{4}{- 1}$

解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.4.6.1.2.8.1.3.1

用 $4$ 除以 $- 1$ 。

$x \geq - 4$

解题步骤 1.4.6.1.2.8.2

求 $x \geq - 4$ 和 $x < 0$ 的交点。

$- 4 \leq x < 0$

解题步骤 1.4.6.1.2.9

求解的并集。

$- 4 \leq x \leq 4$

解题步骤 1.4.6.1.3

定义域为使表达式有定义的所有值 $y$ 。

$[- 4, 4]$

解题步骤 1.4.6.2

求 $y < 0$ 和 $[- 4, 4]$ 的交点。

$- 4 \leq y < 0$

解题步骤 1.4.7

书写为分段式。

${\begin{cases} y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & 0 \leq y \leq 4 \\ - y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)} & - 4 \leq y < 0 \end{cases}$

解题步骤 1.5

求 $y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 和 $0 \leq y \leq 4$ 的交点。

$0 \leq y \leq N o (Min i m u m)$

解题步骤 1.6

当 $- 4 \leq y < 0$ 时求解 $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

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解题步骤 1.6.1

将 $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 1.6.1.1

将 $- y \leq \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

解题步骤 1.6.1.2

化简左边。

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解题步骤 1.6.1.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

解题步骤 1.6.1.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y \geq \frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$

解题步骤 1.6.1.3

化简右边。

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解题步骤 1.6.1.3.1

移动 $\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y \geq - 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

解题步骤 1.6.1.3.2

将 $- 1 \cdot \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 重写为 $- \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$

解题步骤 1.6.2

求 $y \geq - \sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 和 $- 4 \leq y < 0$ 的交点。

无解

解题步骤 1.7

求解的并集。

$0 \leq y \leq i N o Min m^{2} u$

解题步骤 2

画出 $x^{2} - y > 2$ 的图像。

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解题步骤 2.1

求解 $y$ 。

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解题步骤 2.1.1

从不等式两边同时减去 $x^{2}$ 。

$- y > 2 - x^{2}$

解题步骤 2.1.2

将 $- y > 2 - x^{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 2.1.2.1

将 $- y > 2 - x^{2}$ 中的每一项除以 $- 1$ 。当不等式两边同时乘以或除以一个负数时，应改变不等号的方向。

$\frac{- y}{- 1} < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2

化简左边。

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解题步骤 2.1.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y < \frac{2}{- 1} + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.3

化简右边。

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解题步骤 2.1.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.2.3.1.1

用 $2$ 除以 $- 1$ 。

$y < - 2 + \frac{- x^{2}}{- 1}$

解题步骤 2.1.2.3.1.2

将两个负数相除得到一个正数。

$y < - 2 + \frac{x^{2}}{1}$

解题步骤 2.1.2.3.1.3

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$y < - 2 + x^{2}$

解题步骤 2.2

求边界线的斜率和 y 轴截距。

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解题步骤 2.2.1

重写为斜截式。

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解题步骤 2.2.1.1

斜截式为 $y = m x + b$ ，其中 $m$ 是斜率， $b$ 是 y 轴截距。

$y = m x + b$

解题步骤 2.2.1.2

将 $- 2$ 和 $x^{2}$ 重新排序。

$y < x^{2} - 2$

解题步骤 2.2.2

该方程并非线性方程，因此不存在常数斜率。

非线性

解题步骤 2.3

画一条虚线，再把界线下方的区域涂上阴影，因为 $y$ 小于 $- 2 + x^{2}$ 。

$y < - 2 + x^{2}$

解题步骤 3

在同一坐标系上绘制出每一个图像。

$x^{2} + y^{2} \leq 16$

$x^{2} - y > 2$

解题步骤 4

代数 示例

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