代数示例

$f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ 写为等式。

$y = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \sqrt[3]{2 y^{5} - 10}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\sqrt[3]{2 y^{5} - 10} = x$ 。

$\sqrt[3]{2 y^{5} - 10} = x$

解题步骤 3.2

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{2 y^{5} - 10}}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 y^{5} - 10}$ 重写成 ${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}}$ 。

${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

化简 ${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1.1

将 ${({(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(2 y^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(2 y^{5} - 10)}^{1} = x^{3}$

解题步骤 3.3.2.1.2

化简。

$2 y^{5} - 10 = x^{3}$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

在等式两边都加上 $10$ 。

$2 y^{5} = x^{3} + 10$

解题步骤 3.4.2

将 $2 y^{5} = x^{3} + 10$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $2 y^{5} = x^{3} + 10$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y^{5}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y^{5}}{2} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

用 $y^{5}$ 除以 $1$ 。

$y^{5} = \frac{x^{3}}{2} + \frac{10}{2}$

解题步骤 3.4.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.3.1

用 $10$ 除以 $2$ 。

$y^{5} = \frac{x^{3}}{2} + 5$

解题步骤 3.4.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5}$

解题步骤 3.4.4

化简 $\sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5}$ 。

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解题步骤 3.4.4.1

要将 $5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + 5 \cdot \frac{2}{2}}$

解题步骤 3.4.4.2

组合 $5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3}}{2} + \frac{5 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.4.3

在公分母上合并分子。

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3} + 5 \cdot 2}{2}}$

解题步骤 3.4.4.4

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$y = \sqrt[5]{\frac{x^{3} + 10}{2}}$

解题步骤 3.4.4.5

将 $\sqrt[5]{\frac{x^{3} + 10}{2}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$

解题步骤 3.4.4.6

将 $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.7

合并和化简分母。

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解题步骤 3.4.4.7.1

将 $\frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10}}{\sqrt[5]{2}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{\sqrt[5]{2} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.7.2

对 $\sqrt[5]{2}$ 进行 $1$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1} {\sqrt[5]{2}}^{4}}$

解题步骤 3.4.4.7.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{1 + 4}}$

解题步骤 3.4.4.7.4

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{\sqrt[5]{2}}^{5}}$

解题步骤 3.4.4.7.5

将 ${\sqrt[5]{2}}^{5}$ 重写为 $2$ 。

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解题步骤 3.4.4.7.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{2}$ 重写成 $2^{\frac{1}{5}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{{(2^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

解题步骤 3.4.4.7.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

解题步骤 3.4.4.7.5.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.4.4.7.5.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.7.5.4.1

约去公因数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{\frac{5}{5}}}$

解题步骤 3.4.4.7.5.4.2

重写表达式。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2^{1}}$

解题步骤 3.4.4.7.5.5

计算指数。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} {\sqrt[5]{2}}^{4}}{2}$

解题步骤 3.4.4.8

化简分子。

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解题步骤 3.4.4.8.1

将 ${\sqrt[5]{2}}^{4}$ 重写为 $\sqrt[5]{2^{4}}$ 。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} \sqrt[5]{2^{4}}}{2}$

解题步骤 3.4.4.8.2

对 $2$ 进行 $4$ 次方运算。

$y = \frac{\sqrt[5]{x^{3} + 10} \sqrt[5]{16}}{2}$

解题步骤 3.4.4.9

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 3.4.4.9.1

使用根数乘积法则进行合并。

$y = \frac{\sqrt[5]{(x^{3} + 10) \cdot 16}}{2}$

解题步骤 3.4.4.9.2

将 $\frac{\sqrt[5]{(x^{3} + 10) \cdot 16}}{2}$ 中的因式重新排序。

$y = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ 是否为 $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10})$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(\sqrt[3]{2 x^{5} - 10})}^{3} + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ 重写成 ${(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

将 ${({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.2.3.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ({(2 x^{5} - 10)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.2.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 ((2 x^{5} - 10) + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.3

化简。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 (2 x^{5} - 10 + 10)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.4

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 (2 x^{5} + 0)}}{2}$

解题步骤 5.2.3.5

将 $2 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{16 \cdot (2 x^{5})}}{2}$

解题步骤 5.2.3.6

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{32 x^{5}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.7

将 $32 x^{5}$ 重写为 ${(2 x)}^{5}$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{\sqrt[5]{{(2 x)}^{5}}}{2}$

解题步骤 5.2.3.8

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = \frac{2 x}{2}$

解题步骤 5.2.4.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\sqrt[3]{2 x^{5} - 10}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 10}$

解题步骤 5.3.3

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 5.3.3.1

从 $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 10$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 ({(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5}) - 10}$

解题步骤 5.3.3.1.2

从 $- 10$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} + 2 \cdot - 5}$

解题步骤 5.3.3.1.3

从 $2 {(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} + 2 \cdot - 5$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 ({(\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2})}^{5} - 5)}$

解题步骤 5.3.3.2

对 $\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}^{5}}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.1

将 ${\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}^{5}$ 重写为 $16 (x^{3} + 10)$ 。

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解题步骤 5.3.4.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}$ 重写成 ${(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{({(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5}})}^{5}}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.1.3

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $5$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.1.4

约去 $5$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{{(16 (x^{3} + 10))}^{\frac{5}{5}}}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.1.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.1.5

化简。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.2

运用分配律。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 16 \cdot 10}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $16$ 乘以 $10$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 160}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.4

从 $16 x^{3} + 160$ 中分解出因数 $16$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.1

从 $16 x^{3}$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3}) + 160}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.4.2

从 $160$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 x^{3} + 16 \cdot 10}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.4.4.3

从 $16 x^{3} + 16 \cdot 10$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{2^{5}} - 5)}$

解题步骤 5.3.5

对 $2$ 进行 $5$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{32} - 5)}$

解题步骤 5.3.6

约去公因数。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $32$ 中分解出因数 $16$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{16 \cdot 2} - 5)}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{16 (x^{3} + 10)}{16 \cdot 2} - 5)}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} - 5)}$

解题步骤 5.3.7

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} - 5 \cdot \frac{2}{2})}$

解题步骤 5.3.8

组合 $- 5$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10}{2} + \frac{- 5 \cdot 2}{2})}$

解题步骤 5.3.9

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10 - 5 \cdot 2}{2})}$

解题步骤 5.3.10

以因式分解的形式重写 $\frac{x^{3} + 10 - 5 \cdot 2}{2}$ 。

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解题步骤 5.3.10.1

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 10 - 10}{2})}$

解题步骤 5.3.10.2

从 $10$ 中减去 $10$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3} + 0}{2})}$

解题步骤 5.3.10.3

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{2 (\frac{x^{3}}{2})}$

解题步骤 5.3.11

组合 $2$ 和 $\frac{x^{3}}{2}$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

解题步骤 5.3.12

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 5.3.12.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x^{3}}{2}$ 。

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解题步骤 5.3.12.1.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{2 x^{3}}{2}}$

解题步骤 5.3.12.1.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{1}}$

解题步骤 5.3.12.2

用 $x^{3}$ 除以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

解题步骤 5.3.13

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$f (\frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$ 为 $f (x) = \sqrt[3]{2 x^{5} - 10}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[5]{16 (x^{3} + 10)}}{2}$

代数 示例

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