代数示例

$x^{8} - 5 x^{4} + 4 = 0$

解题步骤 1

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

${(x^{4})}^{2} - 5 x^{4} + 4 = 0$

解题步骤 2

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$u^{2} - 5 u + 4 = 0$

解题步骤 3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $- 5$ 。

$- 4, - 1$

解题步骤 3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 4) (u - 1) = 0$

解题步骤 4

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{4} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 4) (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$({(x^{2})}^{2} - 2^{2}) (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 2$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{4} - 1) = 0$

解题步骤 8

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1) = 0$

解题步骤 9

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) = 0$

解题步骤 10

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 11

因数。

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解题步骤 11.1

化简。

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解题步骤 11.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

解题步骤 11.1.2

因数。

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解题步骤 11.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

解题步骤 11.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) ((x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 11.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 2) (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) = 0$

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