代数示例

$f (x) = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

解题步骤 1

求 x 轴截距。

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解题步骤 1.1

要求 x 轴截距，请将 $0$ 代入 $y$ 并求解 $x$ 。

$0 = x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20$

解题步骤 1.2

求解方程。

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解题步骤 1.2.1

将方程重写为 $x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$ 。

$x^{4} - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.1

从 $x^{4} - x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.2.2.1.1

从 $x^{4}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x - x^{3} - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.2

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} x + x^{3} \cdot - 1 - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.1.3

从 $x^{3} x + x^{3} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{3}$ 。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.2.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 21 \cdot 20 = - 420$ 并且它们的和为 $b = 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.2.1.1

乘以 $1$ 。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + 1 x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.2

把 $1$ 重写为 $- 20$ 加 $21$

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} + (- 20 + 21) x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.1.3

运用分配律。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$x^{3} (x - 1) - 21 x^{2} - 20 x + 21 x + 20 = 0$

解题步骤 1.2.2.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{3} (x - 1) + x (- 21 x - 20) - (- 21 x - 20) = 0$

解题步骤 1.2.2.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- 21 x - 20$ 来因式分解多项式。

$x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.2.3

从 $x^{3} (x - 1) + (- 21 x - 20) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.3.1

从 $x^{3} (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (- 21 x - 20) (x - 1) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.2

从 $(- 21 x - 20) (x - 1)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20) = 0$

解题步骤 1.2.2.3.3

从 $(x - 1) x^{3} + (x - 1) (- 21 x - 20)$ 中分解出因数 $x - 1$ 。

$(x - 1) (x^{3} - 21 x - 20) = 0$

解题步骤 1.2.2.4

因数。

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解题步骤 1.2.2.4.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 21 x - 20$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 21 x - 20$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3

代入 $- 1$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 1$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1.3.1

将 $- 1$ 代入多项式。

${(- 1)}^{3} - 21 \cdot - 1 - 20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 1 - 21 \cdot - 1 - 20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3.3

将 $- 21$ 乘以 $- 1$ 。

$- 1 + 21 - 20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3.4

将 $- 1$ 和 $21$ 相加。

$20 - 20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.3.5

从 $20$ 中减去 $20$ 。

$0$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.4

因为 $- 1$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 21 x - 20}{x + 1}$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5

用 $x^{3} - 21 x - 20$ 除以 $x + 1$ 。

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解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$21 x$

$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					-	$x^{2}$	-	$x$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 20 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							-	$20 x$	-	$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 20 x - 20$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$x$	-	$20$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$21 x$	-	$20$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					-	$x^{2}$	-	$21 x$
					+	$x^{2}$	+	$x$
							-	$20 x$	-	$20$
							+	$20 x$	+	$20$
										$0$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - x - 20$

解题步骤 1.2.2.4.1.1.6

将 $x^{3} - 21 x - 20$ 书写为因数的集合。

$(x - 1) ((x + 1) (x^{2} - x - 20)) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.4.1.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.2.4.1.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 1.2.2.4.1.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 1) ((x + 1) ((x - 5) (x + 4))) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.1.2.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) ((x + 1) (x - 5) (x + 4)) = 0$

解题步骤 1.2.2.4.2

去掉多余的括号。

$(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$

解题步骤 1.2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.4

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 1.2.4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 1.2.5

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.5.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 1.2.5.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 1.2.6

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 1.2.6.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 1.2.7

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 1.2.7.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 1.2.7.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 1.2.8

最终解为使 $(x - 1) (x + 1) (x - 5) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 1, - 1, 5, - 4$

解题步骤 1.3

以点的形式表示的 x 轴截距。

x 轴截距： $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

解题步骤 2

求 y 轴截距

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解题步骤 2.1

要求 y 轴截距，请将 $0$ 代入 $x$ 并求解 $y$ 。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2

求解方程。

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解题步骤 2.2.1

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.2

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.3

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.4

去掉圆括号。

$y = 0^{4} - 0^{3} - 21 \cdot 0^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.5

去掉圆括号。

$y = {(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6

化简 ${(0)}^{4} - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$ 。

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解题步骤 2.2.6.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.6.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - {(0)}^{3} - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 - 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 21 {(0)}^{2} + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$y = 0 + 0 - 21 \cdot 0 + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.1.5

将 $- 21$ 乘以 $0$ 。

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 2.2.6.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$y = 0 + 20$

解题步骤 2.2.6.2.4

将 $0$ 和 $20$ 相加。

$y = 20$

解题步骤 2.3

以点的形式表示的 y 轴截距。

y 轴截距： $(0, 20)$

解题步骤 3

列出交点。

x 轴截距： $(1, 0), (- 1, 0), (5, 0), (- 4, 0)$

y 轴截距： $(0, 20)$

解题步骤 4

代数 示例

代数示例