代数示例

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

解题步骤 1

对 $\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\cos^{3} (x) - 2 \cos^{2} (x) - \cos (x) + 2 = 0$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\cos^{2} (x) (\cos (x) - 2) - (\cos (x) - 2) = 0$

解题步骤 1.2

通过因式分解出最大公因数 $\cos (x) - 2$ 来因式分解多项式。

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(\cos (x) - 2) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

解题步骤 1.4

因数。

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解题步骤 1.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$(\cos (x) - 2) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

解题步骤 1.4.2

去掉多余的括号。

$(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) - 2 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 3

将 $\cos (x) - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $\cos (x) - 2$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 2 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 2 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $2$ 。

$\cos (x) = 2$

解题步骤 3.2.2

余弦的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $2$ 不在值域中，所以无解。

无解

解题步骤 4

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 4.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 4.2.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 4.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 5.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 5.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

最终解为使 $(\cos (x) - 2) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

合并答案。

$x = π n$ ，对于任意整数 $n$

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