代数示例

$x^{4} - 11 x^{2} = 80$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $80$ 。

$x^{4} - 11 x^{2} - 80 = 0$

解题步骤 2

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 80 = 0$

解题步骤 2.2

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$u^{2} - 11 u - 80 = 0$

解题步骤 2.3

使用 AC 法来对 $u^{2} - 11 u - 80$ 进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 80$ ，和为 $- 11$ 。

$- 16, 5$

解题步骤 2.3.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 16) (u + 5) = 0$

解题步骤 2.4

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} - 16) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.5

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$(x^{2} - 4^{2}) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 2.6

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 4

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 4.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 5

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 5.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 6

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.1

将 $x^{2} + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 5 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 5 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x^{2} = - 5$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{- 5}$

解题步骤 6.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 5}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.3.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

解题步骤 6.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (5)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 6.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{5}$

解题步骤 6.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

解题步骤 7

最终解为使 $(x + 4) (x - 4) (x^{2} + 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

代数 示例

代数示例