代数示例

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \div \frac{x^{2} - 4 x - 12}{36 - x^{2}}$

解题步骤 1

要除以一个分数，请乘以其倒数。

$\frac{x^{2} + 11 x + 18}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 11 x + 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $18$ ，和为 $11$ 。

$2, 9$

解题步骤 2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x^{2} + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 3

从 $x^{2} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x^{1}} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 3.3

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x \cdot x + x \cdot 1} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 3.4

从 $x \cdot x + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1 - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 4

化简分子。

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解题步骤 4.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{1^{2} - x^{2}}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 4.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = x$ 。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x^{2} + 8 x - 9} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 8 x - 9$ 进行因式分解。

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解题步骤 5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 9$ ，和为 $8$ 。

$- 1, 9$

解题步骤 5.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{(x + 2) (x + 9)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

约去 $x + 9$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $(x + 2) (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x - 1) (x + 9)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.1.2

从 $(x - 1) (x + 9)$ 中分解出因数 $x + 9$ 。

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.1.3

约去公因数。

$\frac{(x + 9) (x + 2)}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{(x + 9) (x - 1)} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.1.4

重写表达式。

$\frac{x + 2}{x (x + 1)} \cdot \frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1} \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{x + 2}{x (x + 1)}$ 乘以 $\frac{(1 + x) (1 - x)}{x - 1}$ 。

$\frac{(x + 2) ((1 + x) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.3

约去 $1 + x$ 和 $x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.1

重新排序项。

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.3.2

约去公因数。

$\frac{(x + 2) ((x + 1) (1 - x))}{x (x + 1) (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.3.3

重写表达式。

$\frac{(x + 2) (1 - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4

约去 $1 - x$ 和 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

将 $1$ 重写为 $- 1 (- 1)$ 。

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - x)}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1) - (x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4.3

从 $- 1 (- 1) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{(x + 2) (- 1 (- 1 + x))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4.4

重新排序项。

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4.5

约去公因数。

$\frac{(x + 2) (- 1 (x - 1))}{x (x - 1)} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.4.6

重写表达式。

$\frac{(x + 2) \cdot (- 1)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.5

化简表达式。

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解题步骤 6.5.1

将 $- 1$ 移到 $x + 2$ 的左侧。

$\frac{- 1 \cdot (x + 2)}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 6.5.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{36 - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $36$ 重写为 $6^{2}$ 。

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{6^{2} - x^{2}}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 7.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 6$ 和 $b = x$ 。

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x^{2} - 4 x - 12}$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 4$ 。

$- 6, 2$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$- \frac{x + 2}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 9

化简项。

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解题步骤 9.1

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1

将 $- \frac{x + 2}{x}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- (x + 2)}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 9.1.2

从 $- (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x - 6) (x + 2)}$

解题步骤 9.1.3

从 $(x - 6) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

解题步骤 9.1.4

约去公因数。

$\frac{(x + 2) \cdot - 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{(x + 2) (x - 6)}$

解题步骤 9.1.5

重写表达式。

$\frac{- 1}{x} \cdot \frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$

解题步骤 9.2

将 $\frac{- 1}{x}$ 乘以 $\frac{(6 + x) (6 - x)}{x - 6}$ 。

$\frac{- ((6 + x) (6 - x))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3

约去 $6 - x$ 和 $x - 6$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.1

将 $6$ 重写为 $- 1 (- 6)$ 。

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - x))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6) - (x)))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3.3

从 $- 1 (- 6) - (x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{- ((6 + x) (- 1 (- 6 + x)))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3.4

重新排序项。

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3.5

约去公因数。

$\frac{- (6 + x) (- 1 (x - 6))}{x (x - 6)}$

解题步骤 9.3.6

重写表达式。

$\frac{- (6 + x) \cdot (- 1)}{x}$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 (6 + x)}{x}$

解题步骤 10.2

将 $6 + x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{6 + x}{x}$

代数 示例

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