代数示例

$2 (\cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot 5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3}))$

解题步骤 1

化简每一项。

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解题步骤 1.1

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 1.2

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 1.3

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$2 (\frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

运用分配律。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1

约去公因数。

$(2 (\frac{1}{2}) + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 2.2.2

重写表达式。

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1

约去公因数。

$(1 + 2 \frac{i \sqrt{3}}{2}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 2.3.2

重写表达式。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (\cos (\frac{2 π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \cos (\frac{π}{3}) + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 3.2

$\cos (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{1}{2}$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{2 π}{3})))$

解题步骤 3.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \sin (\frac{π}{3})))$

解题步骤 3.4

$\sin (\frac{π}{3})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 3.5

组合 $i$ 和 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2} + \frac{i \sqrt{3}}{2}))$

解题步骤 4

运用分配律。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (5 (- \frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5

乘以 $5 (- \frac{1}{2})$ 。

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解题步骤 5.1

将 $- 1$ 乘以 $5$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- 5 (\frac{1}{2}) + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 5.2

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + 5 \frac{i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 6

化简项。

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解题步骤 6.1

组合 $5$ 和 $\frac{i \sqrt{3}}{2}$ 。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (\frac{- 5}{2} + \frac{5 (i \sqrt{3})}{2})$

解题步骤 6.2

将负号移到分数的前面。

$(1 + i \sqrt{3}) \cdot (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7

使用 FOIL 方法展开 $(1 + i \sqrt{3}) (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$ 。

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解题步骤 7.1

运用分配律。

$1 (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2}) + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.2

运用分配律。

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 7.3

运用分配律。

$1 (- \frac{5}{2}) + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

化简并合并同类项。

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解题步骤 8.1

化简每一项。

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解题步骤 8.1.1

将 $- \frac{5}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5}{2} + 1 \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.2

将 $\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + i \sqrt{3} (- \frac{5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.3

乘以 $i \sqrt{3} (- \frac{5}{2})$ 。

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解题步骤 8.1.3.1

组合 $i$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} (- \frac{i \cdot 5}{2}) + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.3.2

组合 $\sqrt{3}$ 和 $\frac{i \cdot 5}{2}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3} (i \cdot 5)}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.4

将 $5$ 移到 $\sqrt{3} i$ 的左侧。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.5

乘以 $i \sqrt{3} \frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ 。

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解题步骤 8.1.5.1

组合 $\frac{5 i \sqrt{3}}{2}$ 和 $i$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i \sqrt{3} i}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.5.2

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.5.3

对 $i$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 (i^{1} i^{1}) \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.5.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{1 + 1} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.5.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2} \sqrt{3}$

解题步骤 8.1.5.6

组合 $\frac{5 i^{2} \sqrt{3}}{2}$ 和 $\sqrt{3}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} \sqrt{3} \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8.1.5.7

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 8.1.5.8

对 $\sqrt{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} ({\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1})}{2}$

解题步骤 8.1.5.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{2}$

解题步骤 8.1.5.10

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 i^{2} {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 8.1.6

化简分子。

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解题步骤 8.1.6.1

将 $i^{2}$ 重写为 $- 1$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {\sqrt{3}}^{2}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2

将 ${\sqrt{3}}^{2}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 8.1.6.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{2}}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 8.1.6.2.4.1

约去公因数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2.4.2

重写表达式。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3^{1}}{2}$

解题步骤 8.1.6.2.5

计算指数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{5 \cdot - 1 \cdot 3}{2}$

解题步骤 8.1.6.3

合并指数。

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解题步骤 8.1.6.3.1

提取负因数。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- (5 \cdot 3)}{2}$

解题步骤 8.1.6.3.2

将 $5$ 乘以 $3$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 1 \cdot 15}{2}$

解题步骤 8.1.6.3.3

将 $- 1$ 乘以 $15$ 。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} + \frac{- 15}{2}$

解题步骤 8.1.7

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2} - \frac{15}{2}$

解题步骤 8.2

在公分母上合并分子。

$\frac{- 5 - 15}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 8.3

从 $- 5$ 中减去 $15$ 。

$\frac{- 20}{2} + \frac{5 i \sqrt{3}}{2} - \frac{5 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 \sqrt{3} i}{2}$

解题步骤 10

重新排序 $- 5 \sqrt{3} i$ 的因式。

$\frac{- 20 + 5 i \sqrt{3} - 5 i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 11

从 $5 i \sqrt{3}$ 中减去 $5 i \sqrt{3}$ 。

$\frac{- 20 + 0}{2}$

解题步骤 12

化简表达式。

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解题步骤 12.1

将 $- 20$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 20}{2}$

解题步骤 12.2

用 $- 20$ 除以 $2$ 。

$- 10$

代数 示例

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