代数示例

$f (x) = {(3 x - 1)}^{3}$

解题步骤 1

通过计算导数 $f (x)$ 的不定积分, 可以求函数 $F (x)$ 。

$F (x) = \int f (x) d x$

解题步骤 2

使 $u = 3 x - 1$ 。然后使 $d u = 3 d x$ ，以便 $\frac{1}{3} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 2.1

设 $u = 3 x - 1$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 2.1.1

对 $3 x - 1$ 求导。

$\frac{d}{d x} [3 x - 1]$

解题步骤 2.1.2

根据加法法则， $3 x - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.1.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.3.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 1]$

解题步骤 2.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.1.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$3 + 0$

解题步骤 2.1.4.2

将 $3$ 和 $0$ 相加。

$3$

解题步骤 2.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int u^{3} \frac{1}{3} d u$

解题步骤 3

组合 $u^{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\int \frac{u^{3}}{3} d u$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int u^{3} d u$

解题步骤 5

根据幂法则， $u^{3}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{4} u^{4}$ 。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$ 重写为 $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$ 。

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C$

解题步骤 6.2

化简。

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解题步骤 6.2.1

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C$

解题步骤 6.2.2

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{1}{12} u^{4} + C$

解题步骤 7

使用 $3 x - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{12} {(3 x - 1)}^{4} + C$

解题步骤 8

函数 $F$ 由函数导数的积分导出。根据微积分基本定理，这是有效的。

$F (x) = \frac{1}{12} \cdot {(3 x - 1)}^{4} + C$

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